Uma empresa produziu, em um determinado mês, 110 toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo e 80 toneladas a partir de plásticos reciclados. O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 500,00, que equivale a 5% do custo para produzir a mesma quantidade de plástico a partir de derivados de petróleo. Para o mês seguinte, a meta dessa empresa é produzir a mesma quantidade de plástico que foi produzida nesse mês, mas com redução de, pelo menos, 50% no custo de produção.
Para que no mês seguinte a empresa atinja a meta, a quantidade mínima de toneladas de plástico que devem ser produzidas a partir de reciclagem deverá ser
A) 135.
B) 140.
C) 155.
D) 160.
E) 175.
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Interpretação de Texto
- Porcentagem
- Sistemas de Equações Lineares (ou Inequações)
- Raciocínio Lógico-Matemático
- Tema/Objetivo Geral: Otimização de custos de produção através da resolução de um sistema de equações com uma condição de desigualdade (custo mínimo).
- Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do Nível: A questão é de nível médio porque exige múltiplas etapas de cálculo e raciocínio antes de chegar à equação final. É preciso calcular o custo de um dos insumos, o custo total original, o custo meta e, finalmente, montar e resolver um sistema de equações. Há vários pontos onde um erro de cálculo pode comprometer a solução.
- Gabarito: B) 140.
- Explicação Resumida: Após calcular o custo de cada tipo de plástico e o novo teto orçamentário (R$ 570.000), a montagem de uma equação que relaciona as quantidades dos dois tipos de plástico mostra que são necessárias, no mínimo, 140 toneladas de plástico reciclado para atingir a meta.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir a quantidade mínima de plástico reciclado que a empresa precisa produzir para conseguir duas coisas ao mesmo tempo: 1) Manter a produção total de 190 toneladas e 2) Cortar o custo de produção pela metade.
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que a empresa está fazendo um “suco” de 190 litros. No mês passado, a receita usou muita “fruta cara” (plástico de petróleo) e pouca “fruta barata” (plástico reciclado). Para o próximo mês, o chefe cortou o orçamento do suco pela metade, mas ainda quer os mesmos 190 litros. O verdadeiro desafio aqui é descobrir a nova receita: qual a quantidade mínima da fruta barata que precisamos usar para que o custo total do suco caiba no novo orçamento?
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o de um auditor financeiro:
- Levantar os Custos Unitários: Descobrir o preço exato de 1 tonelada de cada tipo de plástico.
- Auditar o Custo Original: Calcular o custo total de produção do primeiro mês.
- Definir o Orçamento Meta: Calcular o novo teto de gastos (50% do custo original).
- Montar a Equação de Otimização: Criar a equação que representa a nova “receita” de produção e seu custo, e resolvê-la para encontrar a quantidade mínima de plástico reciclado.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Antes de escolhermos nossa estratégia de ataque, precisamos preparar o terreno, organizando todas as pistas financeiras em um dossiê.
Dossiê do Custo de Produção (A Preparação da Cena)
Parte 1: Análise dos Insumos (“Ingredientes”)
- Plástico Reciclado (Barato): Custo = R$ 500 / ton.
- Plástico de Petróleo (Caro): O enunciado diz que R$ 500 são 5% do custo.
- Cálculo: Se 0,05 × Custo_Caro = 500, então Custo_Caro = 500 / 0,05 = R$ 10.000 / ton.
Parte 2: Auditoria do Mês Anterior (“A Conta Antiga”)
- Produção Total: 110 ton (caro) + 80 ton (barato) = 190 toneladas.
- Custo Original: (110 × 10.000) + (80 × 500) = 1.100.000 + 40.000 = R$ 1.140.000.
Parte 3: A Meta do Mês Seguinte (“O Novo Orçamento”)
- Produção Total Meta: 190 toneladas.
- Custo Máximo Meta: 50% de 1.140.000 = 1.140.000 / 2 = R$ 570.000.
Com o terreno preparado, agora temos duas ferramentas de investigação à nossa disposição.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Abordagem 1: O Teste de Hipóteses (A Estratégia do Detetive Eficiente)
Em um interrogatório, um bom detetive testa o álibi do suspeito mais provável primeiro. Em uma prova, as alternativas são nossas suspeitas. Vamos testar a alternativa B (140), que está bem no centro das opções.
- Hipótese: A empresa produz 140 toneladas de plástico reciclado.
- Cálculo Complementar: Para atingir a meta de 190 toneladas, a produção de plástico de petróleo seria: 190 – 140 = 50 toneladas.
- Cálculo do Custo da Nova Receita:
- Custo Reciclado: 140 ton × R$ 500/ton = R$ 70.000.
- Custo Petróleo: 50 ton × R$ 10.000/ton = R$ 500.000.
- Custo Total: 70.000 + 500.000 = R$ 570.000.
- Veredito: O custo calculado (R$ 570.000) bate exatamente com o nosso Custo Máximo Meta. Como a pergunta pede a quantidade mínima, e 140 atinge a meta “na trave”, esta é a nossa resposta. Caso encerrado.
Abordagem 2: A Prova Algébrica (A Estratégia do Perito)
Esta abordagem não depende das alternativas e nos dá a prova matemática irrefutável. Usamos as equações do nosso dossiê.
- As Equações:
- r + p = 190 (onde p = 190 – r)
- 500r + 10.000p ≤ 570.000
- Substituindo p na inequação de custo:
500r + 10.000 * (190 – r) ≤ 570.000 - Resolvendo a Inequação:
500r + 1.900.000 – 10.000r ≤ 570.000
-9.500r ≤ 570.000 – 1.900.000
-9.500r ≤ -1.330.000
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Ao multiplicar ambos os lados por -1 para torná-los positivos, somos obrigados a inverter o sinal da desigualdade:
9.500r ≥ 1.330.000
- Encontrando o Valor Mínimo de r:
r ≥ 1.330.000 / 9.500
r ≥ 140 - A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Ambas as abordagens, o teste prático e a prova algébrica, apontam para a mesma conclusão: a quantidade mínima de plástico reciclado é de 140 toneladas.
- Expectativa: A resposta correta deve ser 140.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 135
- A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter cometido um pequeno erro de cálculo ou arredondamento. Se ele usasse esse valor, o custo final seria (135*500) + (55*10000) = 67.500 + 550.000 = R$ 617.500, que é maior que o teto de R$ 570.000.
- O “Diagnóstico do Erro: Não Atinge a Meta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) 140
- Análise de Correspondência: Este é o valor exato que encontramos como o mínimo necessário. Vamos verificar: (140*500) + (50*10000) = 70.000 + 500.000 = R$ 570.000. Bate perfeitamente com a meta.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- C) 155, D) 160, E) 175
- A “Narrativa do Erro”: Todos esses valores também atingiriam a meta de custo (na verdade, resultariam em um custo ainda menor). No entanto, a pergunta é sobre a quantidade mínima. Esses valores são soluções possíveis, mas não a solução ótima que a questão pede.
- O “Diagnóstico do Erro: Não é a Resposta Mínima. O aluno responde a “qual quantidade funciona?” em vez de “qual a quantidade mínima que funciona?”.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B) 140 é a correta, pois em problemas de otimização, não basta encontrar uma solução que funcione, é preciso encontrar a solução que atenda precisamente ao limite imposto.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para cortar o custo pela metade, troque o caro pelo barato até o seu orçamento apitar no limite.”
- Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O que fizemos aqui é um exemplo clássico de Programação Linear, uma poderosa ferramenta matemática usada em logística, finanças e engenharia. Imagine uma empresa de transportes (como a FedEx ou a Amazon) que precisa definir as rotas de seus caminhões. Ela tem um objetivo: minimizar o custo total com combustível e tempo (nossa meta de custo). E ela tem restrições: cada caminhão tem uma capacidade máxima e todos os pacotes precisam ser entregues (nossa produção total de 190 toneladas). A Programação Linear usa algoritmos para encontrar a “receita” de rotas ótima que satisfaz todas as restrições ao menor custo possível, exatamente como encontramos a mistura de plásticos ótima.