Um artista, que costuma fazer desenhos com areia na praia, pediu a um banhista que fizesse um pequeno desenho, que serviria de esboço para uma grande obra de arte a ser feita na areia. Esse desenho está representado na figura.
Após a conclusão, a obra de arte obtida manteve as mesmas proporções do desenho feito pelo banhista, sendo que as medidas indicadas na figura foram ampliadas para 30 m.
Em qual escala esse desenho representa a obra de arte?
A) 1 : 1,5
B) 1 : 2,25
C) 1 : 10
D) 1 : 100
E) 1 : 150
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Escalas (Linear e de Área), Razão e Proporção, Conversão de Unidades de Medida.
Tema/Objetivo Geral
Aplicação do conceito de escala para determinar a relação de proporção entre um desenho e um objeto real.
Nível da Questão
Fácil – A questão exige a aplicação direta da fórmula de escala, envolvendo uma única e comum conversão de unidades (metros para centímetros). A complexidade pode aumentar ligeiramente se o aluno optar por trabalhar com áreas, o que introduz mais etapas e potenciais erros.
Gabarito
E) 1 : 150. Esta alternativa está correta porque representa a razão simplificada entre a medida do desenho (20 cm) e a medida da obra de arte na areia (30 m, ou 3000 cm).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A questão nos pede para encontrar a escala que relaciona um esboço pequeno (medindo 20 cm) com uma obra de arte gigante (medindo 30 m).
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como usar um mapa. No mapa, 1 centímetro pode representar 10 quilômetros na vida real. Aqui, a missão é descobrir a mesma coisa: 1 centímetro no desenho do banhista representa quantos centímetros na obra de arte gigante na areia?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Identificar as Medidas: Anotar a medida correspondente no desenho e na obra final.
- Padronizar as Unidades: Converter ambas as medidas para a mesma unidade (centímetros é a escolha mais segura).
- Calcular a Escala: Aplicar a fórmula da escala para encontrar a proporção. Veremos que há duas rotas para isso: uma direta (linear) e outra mais elaborada (por área).
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos entender a ferramenta “escala”. Ela pode ser de dois tipos, e a escolha do detetive define a complexidade da investigação.
Dossiê da Missão: Entendendo Escalas
- Definição: Escala é a relação matemática que nos diz quantas vezes uma representação (mapa, maquete, desenho) é menor que o objeto real.
- Fórmula Essencial: Escala = Medida no Desenho / Medida Real
- Regra de Ouro: Para que a fórmula funcione, as duas medidas devem estar exatamente na mesma unidade.
- Tipos de Escala:
- Escala Linear: Compara medidas de comprimento (lado, altura, diâmetro). Ex: cm com m. É a rota mais direta.
- Escala de Área: Compara medidas de superfície (área). Ex: cm² com m². Esta rota é mais longa e possui mais armadilhas. A relação é: Escala de Área = (Escala Linear)².
- Conversões-Chave:
- Linear: 1 metro (m) = 100 centímetros (cm).
- Área: 1 m² = (100 cm) x (100 cm) = 10.000 cm².
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano. Apresentaremos duas rotas de investigação: a Rota Direta, que é mais rápida e segura, e a Rota de Área, que também leva à resposta, mas é mais complexa.
Rota de Investigação 1: A Via Expressa (Escala Linear)
Esta é a abordagem mais eficiente.
- Medidas:
- Medida do Desenho: 20 cm
- Medida Real: 30 m
- Padronização de Unidades:
- Convertendo a medida real para cm: 30 m × 100 = 3000 cm.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é a ansiedade. O cérebro vê “20” e “30” e imediatamente quer dividir um pelo outro. Isso leva ao cálculo 20 ÷ 30, que aponta para a alternativa A. Essa é a isca perfeita, plantada para quem esquece a Regra de Ouro: as unidades devem ser as mesmas antes de qualquer cálculo!
- Cálculo da Escala:
- Escala = Medida no Desenho / Medida Real = 20 cm / 3000 cm
- Simplificando a fração (dividindo ambos os lados por 20): 1 / 150.
- Resultado: 1 : 150
Rota de Investigação 2: O Desvio (Escala de Área)
Esta abordagem é válida, mas mais trabalhosa e com mais pontos de erro.
- Cálculo das Áreas (dos quadrados que contêm as figuras):
- Área do Desenho: 20 cm × 20 cm = 400 cm²
- Área Real: 30 m × 30 m = 900 m²
- Padronização de Unidades de Área:
- As unidades são diferentes (cm² e m²). Convertendo a área real:
- 900 m² × 10.000 cm²/m² = 9.000.000 cm²
- Cálculo da Relação de Área:
- Relação = Área do Desenho / Área Real = 400 / 9.000.000
- Simplificando (dividindo por 400): 1 / 22.500.
- Esta é a Escala de Área (1 : 22.500).
- Conversão para Escala Linear:
- A questão pede a escala linear, não a de área. Como vimos, Escala de Área = (Escala Linear)².
- Para achar a escala linear, tiramos a raiz quadrada da escala de área: √(1/22.500) = √1 / √22.500 = 1 / 150.
- Resultado: 1 : 150
Ambas as rotas levam à mesma conclusão, mas a primeira é claramente superior em simplicidade e segurança.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Independentemente do método (linear ou por área), a proporção fundamental entre o comprimento no desenho e o comprimento na obra real, após a correta conversão de unidades, é de 1 para 150.
- Expectativa: A alternativa correta deve apresentar a razão “1 : 150”.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1 : 1,5
- A “Narrativa do Erro”: O candidato ignora a diferença de unidades (cm e m) e simplesmente divide 30 por 20, encontrando 1,5.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Unidade – Comparar valores com unidades de medida diferentes.
- Em qual cenário estaria correto? Esta alternativa estaria correta se a obra de arte final tivesse sido ampliada para 30 centímetros, e não 30 metros.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1 : 2,25
- A “Narrativa do Erro”: O candidato tenta usar a Rota de Área, calcula 20×20=400 e 30×30=900, e então divide 900/400=2,25.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Múltiplo – Combina o erro de usar a Rota de Área com o Erro de Unidade (não converteu m² para cm²).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1 : 10
- A “Narrativa do Erro”: Provavelmente um erro de cálculo durante a conversão ou a divisão final.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 1 : 100
- A “Narrativa do Erro”: O candidato lembra que 1 metro tem 100 centímetros e confunde o fator de conversão com a resposta final da escala.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Fator de Conversão com o Resultado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1 : 150
- Análise de Correspondência: Esta alternativa corresponde perfeitamente à “Expectativa” da nossa Bússola, confirmada por ambos os métodos de resolução.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é a E) 1 : 150, reforçando que, em problemas de escala, a padronização de unidades é o passo mais crítico e a escolha do método linear é a mais eficiente.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Mundo pequeno, mundo grande: para comparar, use sempre a mesma régua.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de escala é vital na Farmacologia. A dose de um medicamento para um rato de laboratório não é a mesma para um ser humano. Os cientistas usam escalas alométricas (que relacionam características biológicas ao tamanho do corpo) para converter doses entre espécies. Um erro de cálculo de escala aqui, assim como na questão, pode levar a resultados drasticamente errados — desde uma dose ineficaz até uma dose tóxica. O princípio é o mesmo: a proporção correta garante o efeito desejado.