Uma caixa de descarga, acoplada a um vaso sanitário, tem a forma de paralelepípedo reto retângulo cujas dimensões internas da base são 2,5 dm e 1,5 dm. Nessa caixa há uma boia que interrompe o abastecimento quando a altura da coluna de água atinge 2 dm, conforme a figura.
A cada acionamento da descarga, todo o volume de água contida na caixa é despejado no vaso. Para reduzir o volume de água despejado a cada acionamento, uma pessoa colocará, no interior dessa caixa, garrafas de 300 mL, cheias de areia e tampadas, de modo a ficarem submersas quando o abastecimento for interrompido.
Para garantir o funcionamento eficiente, o mínimo de água despejada a cada acionamento deve ser de 5 L.
A quantidade máxima de garrafas que serão colocadas nessa caixa, garantindo um funcionamento eficiente, é igual a
A) 10.
B) 8.
C) 4.
D) 3.
E) 2.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Volume de Paralelepípedo), Conversão de Unidades de Medida (dm³, Litro, mL).
Tema/Objetivo Geral
Resolução de um problema de otimização, encontrando a quantidade máxima de um item que pode ser adicionado a um sistema, respeitando uma restrição de volume mínimo.
Nível da Questão
Médio – A questão exige uma sequência lógica de passos: cálculo de volume, conversão entre múltiplas unidades (dm³, L, mL), uma subtração para definir o limite do problema e uma divisão cujo resultado precisa ser interpretado corretamente (truncamento em vez de arredondamento).
Gabarito
B) 8. Este é o número máximo de garrafas de 300 mL que podem ser adicionadas para deslocar até 2,5 L de água, garantindo que o volume de descarga permaneça acima do mínimo de 5 L.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o número máximo de garrafas de 300 mL que podemos colocar dentro da caixa de descarga para economizar água, garantindo que, mesmo com as garrafas lá dentro, a descarga ainda libere, no mínimo, 5 litros de água.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense na caixa d’água como um cofre que guarda dinheiro (água). O cofre cheio guarda um valor X. Para funcionar, você precisa gastar no mínimo 5 “reais” (litros) a cada saque. Você quer colocar “tijolos” (as garrafas) dentro do cofre para ocupar espaço e te forçar a guardar menos dinheiro. A pergunta é: qual o número máximo de tijolos que você pode colocar, sem que o dinheiro disponível para saque fique abaixo de 5 reais?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Calcular o Volume Total de Água: Descobrir quanta água a caixa armazena quando está cheia.
- Definir o “Espaço de Manobra”: Calcular o volume máximo de água que podemos “eliminar” ou deslocar com as garrafas, subtraindo o mínimo necessário do total.
- Padronizar as Unidades: Converter o “espaço de manobra” para a mesma unidade das garrafas (mililitros) para podermos compará-los.
- Calcular o Número de Garrafas: Dividir o espaço de manobra pelo volume de uma única garrafa.
- Interpretar o Resultado: Decidir o número inteiro de garrafas com base no resultado da divisão.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, as ferramentas mais importantes são as chaves de conversão que conectam o mundo da geometria (dm³) com o mundo da capacidade (Litros e mL).
Dossiê de Ferramentas de Volume:
- Ferramenta 1: Volume do Paralelepípedo
- Volume = Comprimento × Largura × Altura
- Ferramenta 2: A Conversão Mestra
- Esta é a relação mais importante e que economiza muito tempo: 1 dm³ = 1 Litro.
- Ferramenta 3: A Conversão Auxiliar
- 1 Litro = 1000 mililitros (mL)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, passo a passo.
- Calculando o Volume Total de Água:
- Dimensões: 2,5 dm × 1,5 dm × 2 dm = 7,5 dm³
- Usando a Conversão Mestra: 7,5 dm³ = 7,5 Litros.
- Definindo o “Espaço de Manobra” (Volume a ser Deslocado):
- Volume Máximo a ser Retirado = Volume Total – Volume Mínimo
- Volume Máximo a ser Retirado = 7,5 L – 5 L = 2,5 Litros.
- Padronizando as Unidades:
- 2,5 L × 1000 = 2500 mL.
- Calculando o Número de Garrafas:
- Nº de Garrafas = 2500 mL / 300 mL = 25 / 3 = 8,333…
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O resultado é 8,33… A armadilha aqui é a interpretação deste número. O raciocínio falho, impulsionado pela palavra “máxima”, é arredondar o valor para cima, para 9. A lógica seria: “Se eu quero o máximo de garrafas, devo tentar colocar 9”. Vamos testar essa hipótese para provar por que ela é uma armadilha:
- Se colocarmos 9 garrafas: 9 × 300 mL = 2700 mL.
- Este volume de 2700 mL é maior que os 2500 mL que temos de “espaço de manobra”.
- O volume de água restante na caixa seria: 7500 mL – 2700 mL = 4800 mL, ou 4,8 L.
- Este valor viola a regra de que o mínimo de água deve ser 5 L.
Portanto, em problemas de preenchimento com restrição, não arredondamos para cima. Nós truncamos o resultado, ou seja, pegamos apenas a parte inteira. O maior número de garrafas que podemos colocar sem quebrar a regra é 8.
- Interpretando o Resultado:
- Como não podemos usar uma fração de garrafa e 9 garrafas violam a restrição, o número máximo de garrafas inteiras que podemos colocar é 8.
- Verificação: 8 × 300 mL = 2400 mL. Este valor está dentro do nosso limite de 2500 mL. O volume de água restante seria 7,5 L – 2,4 L = 5,1 L, o que satisfaz a condição de ser no mínimo 5 L.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O número máximo de garrafas é o quociente entre o volume de água disponível para deslocamento (2,5 L) e o volume de cada garrafa (300 mL), truncando o resultado para o maior inteiro que não viola a condição.
- Expectativa: A resposta correta deve ser 8.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 10
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Lógica no cálculo do volume a ser deslocado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 8
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao nosso cálculo 2500 / 300 = 8,33… e à correta interpretação do resultado (truncamento).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 4
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 3
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão de Unidades.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 2
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Procedimento.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é a B) 8, uma resposta que exige não apenas o cálculo correto, mas também a interpretação lógica de um resultado decimal dentro de um contexto de restrições físicas.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Encontre a “gordura” que pode queimar (volume a retirar) e veja quantos “pesos” (garrafas) cabem nela, sempre arredondando para baixo para não quebrar a regra.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de “otimização com truncamento” é usado em Ciência da Computação para alocação de memória. Um sistema operacional pode ter um bloco de memória livre de 2500 kilobytes (o nosso “espaço de manobra”). Se um programa precisa alocar múltiplos arquivos de 300 kilobytes cada (nossas “garrafas”), o sistema calculará 2500 / 300 = 8,33… e permitirá a alocação de no máximo 8 arquivos inteiros. Ele não pode alocar 9, pois violaria o espaço disponível. A lógica de preencher um espaço limitado com unidades discretas é universal.