Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 . log [-K . (t+1) . (t-19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Logaritmos, Análise de Funções, Função Quadrática (Vértice da Parábola), Interpretação de Enunciados, Inequações.
Tema/Objetivo Geral
Otimização de um parâmetro (K) em uma função logarítmica, analisando criticamente as restrições impostas pelo problema.
Nível da Questão
Difícil – A questão é realmente desafiadora. Ela possui duas interpretações plausíveis do enunciado que levam a duas respostas distintas (A e D), ambas presentes nas alternativas. A resolução exige não apenas domínio matemático, mas também uma capacidade de análise crítica sobre o que significa “garantir a segurança” em um sistema dinâmico, tornando-a um tópico de debate entre especialistas e candidata a anulação.
Gabarito
Controverso, com maior probabilidade para A) 10⁰,⁵. Embora a interpretação mais direta leve à alternativa D, a interpretação matematicamente mais rigorosa da condição de segurança leva à alternativa A. Ambas as linhas de raciocínio são válidas e serão exploradas.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar o maior valor possível para o parâmetro K, de modo que a pressão P nunca ultrapasse 10 atmosferas durante as 10 horas de funcionamento.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que P(t) é a temperatura de um motor durante uma corrida de 10 horas. O manual diz que a temperatura nunca pode passar de 10 graus. O parâmetro K é como o “nível de agressividade” do motor. Queremos usar o motor no nível mais agressivo (maior K) possível sem que ele superaqueça. A grande pergunta é: para garantir a segurança, devemos verificar a temperatura apenas na linha de chegada (t=10) ou devemos descobrir qual o momento mais quente de toda a corrida e garantir que a temperatura nesse pico não passe de 10 graus?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nossa investigação terá duas fases, espelhando as duas interpretações que o enunciado permite.
- Fase 1: A Investigação por Interpretação Direta. Vamos seguir o caminho mais intuitivo: calcular o K que leva a pressão ao limite de 10 atm exatamente no final do período de 10 horas.
- Fase 2: A Investigação por Análise de Risco. Vamos aprofundar a análise, questionando se t=10 é o momento mais crítico. Investigaremos toda a função de pressão para encontrar seu ponto de estresse máximo e recalcular K com base nesse ponto.
- Conclusão do Caso: Compararemos os dois resultados e discutiremos a validade de cada interpretação.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal para resolver a equação é a definição de logaritmo.
A Chave-Mestra do Logaritmo:
A expressão log(X) = Y (na base 10) é uma pergunta: “10 elevado a qual expoente (Y) resulta em X?”. A sua forma equivalente é 10ʸ = X. É essa transformação que nos permite “libertar” as incógnitas de dentro de um logaritmo.
Na Fase 2, usaremos também a ferramenta para encontrar o vértice de uma parábola, que nos dá o ponto de máximo de uma função quadrática: t_vértice = -b / (2a).
PASSO 3 – FASE 1 DA INVESTIGAÇÃO: A INTERPRETAÇÃO DIRETA (RUMO À ALTERNATIVA D)
Nesta fase, adotamos a interpretação de que o empresário está preocupado em atender à recomendação do fabricante ao final do seu período de uso diário de 10 horas.
- Estabelecendo a Condição Limite:
- Queremos o maior K, então usamos o limite da pressão: P = 10.
- A verificação será feita no final do período: t = 10.
- Substituindo os Dados na Fórmula:
- 10 = 4 * log[-K * (10+1) * (10-19)]
- 10 = 4 * log(99K)
- Isolando e Resolvendo para K:
- 2,5 = log(99K)
- Aplicando a chave-mestra: 10²,⁵ = 99K
- K = 10²,⁵ / 99
Conclusão Parcial (Fase 1): Esta linha de raciocínio, perfeitamente lógica e baseada nos dados explícitos do problema (10 horas de uso), nos leva diretamente à alternativa D. É uma solução robusta e defensável.
PASSO 4 – FASE 2 DA INVESTIGAÇÃO: A ANÁLISE DE RISCO (RUMO À ALTERNATIVA A)
O enunciado, no entanto, contém uma sutileza na frase “não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento“. Isso abre margem para uma segunda interpretação, mais rigorosa: a condição de segurança deve ser válida para todo e qualquer instante dentro das 10 horas. Isso nos obriga a investigar o comportamento da pressão ao longo do tempo.
- Analisando a Função de Pressão:
- P(t) = 4 * log[K * (-t² + 18t + 19)]
- A pressão será máxima quando a função quadrática f(t) = -t² + 18t + 19 for máxima.
- Encontrando o Ponto de Estresse Máximo:
- O máximo de f(t) ocorre no seu vértice:
- t_vértice = -18 / (2 * -1) = 9 horas.
- Ponto de Atenção: A análise revela que o pico de pressão não ocorre ao final do expediente, mas sim uma hora antes, em t=9. Se a segurança precisa ser garantida “durante” todo o processo, é este o ponto que devemos controlar.
- Recalculando K com a Nova Premissa:
- A condição limite passa a ser: P(9) = 10.
- 10 = 4 * log[-K * (9+1) * (9-19)]
- 10 = 4 * log(100K)
- 2,5 = log(100K)
- 10²,⁵ = 100K
- K = 10²,⁵ / 100 = 10⁰,⁵
Conclusão Parcial (Fase 2): Esta interpretação, focada na segurança máxima, nos leva à alternativa A.
PASSO 5 – O VEREDITO FINAL (A CONCLUSÃO DO CASO)
Nossa investigação revelou duas trilhas de raciocínio válidas, que levam a duas respostas distintas.
- A Rota D (K = 10²,⁵ / 99) assume que a condição de segurança se aplica ao final do período de uso estipulado (10 horas).
- A Rota A (K = 10⁰,⁵) assume que a condição de segurança deve valer para o ponto de estresse máximo do sistema, que ocorre em 9 horas.
Qual interpretação é “mais correta”?
Do ponto de vista da engenharia e da segurança, a Rota A é superior, pois garante que a pressão nunca ultrapassará o limite. Se o K da Rota D for escolhido, a máquina operará com uma pressão ligeiramente acima de 10 atm em t=9, tecnicamente violando a recomendação. No entanto, a redação do problema, ao focar no “período contínuo de 10 horas”, torna a Rota D uma interpretação extremamente plausível e um distrator de altíssimo nível. É essa dualidade que torna a questão controversa.
PASSO 6 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA EXPANDIDA)
A) 10⁰,⁵
- Análise de Correspondência: É o resultado da interpretação mais rigorosa da condição de segurança (“durante seu funcionamento”), que exige controlar o pico de pressão do sistema.
- Conclusão: ✔️ Provavelmente a alternativa considerada correta pela banca, por ser tecnicamente mais segura.
D) 10²,⁵/99
- A “Narrativa do Erro”: O candidato segue a interpretação mais direta e literal do enunciado, aplicando a restrição de pressão ao final do período de uso de 10 horas.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Interpretação (Plausível) – Assume que o ponto final do intervalo é o ponto de verificação, sem analisar o comportamento da função ao longo de todo o domínio.
- Conclusão: ❌ Um distrator extremamente forte, que representa uma interpretação válida, porém menos rigorosa, do problema.
PASSO 7 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a questão admite duas interpretações lógicas, mas a que leva à Alternativa A (10⁰,⁵) é a que garante a segurança do sistema de forma completa, sendo, portanto, a mais correta do ponto de vista da modelagem matemática e da engenharia.
Resumo-flash (A Imagem Mental): A corrente só é tão forte quanto seu elo mais fraco. A segurança de um processo só é tão boa quanto seu momento de maior risco (o pico).
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de encontrar o ponto de máximo (ou mínimo) de uma função para garantir uma condição é a base de toda a Otimização em Engenharia e Economia. Um engenheiro que projeta a asa de um avião não a testa apenas para o voo reto e nivelado. Ele usa cálculo diferencial para encontrar o ângulo de ataque e a velocidade que geram a máxima tensão na estrutura, e então projeta a asa para suportar essa condição crítica. O raciocínio é idêntico: a segurança e a eficiência de um sistema são definidas pelo seu comportamento nos pontos extremos, não na média ou no final.