Questão 179, caderno azul do ENEM 2021 – DIA 2

Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.

A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão:

Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Análise Combinatória: Combinação Simples e Princípio Fundamental da Contagem).

Tema/Objetivo Geral:
Identificar a fórmula correta de Combinação para selecionar subgrupos de materiais (tecidos e pedras) onde a ordem não importa, e aplicar o Princípio Multiplicativo para unir essas duas escolhas independentes.

Nível da Questão
Médio.
O aluno não precisa fazer a conta final, apenas montar a expressão. O desafio é saber a fórmula da Combinação de cor (n!/p!(n−p)!) e saber quando multiplicar ou somar as etapas.

Gabarito
Letra A.
A alternativa está correta pois utiliza a fórmula de combinação para os tecidos (escolher 2 de 6) e para as pedras (escolher 5 de 15), multiplicando os resultados porque a fantasia precisa de tecidos E pedras simultaneamente.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
Temos um estilista com muitos materiais, mas ele só vai usar alguns.

Tecidos: Tem 6, vai escolher 2.
Pedras: Tem 15, vai escolher 5.
O examinador quer saber: Qual é a expressão matemática que calcula o número total de fantasias possíveis?

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você vai fazer uma Vitamina.

Você tem 6 frutas na geladeira, mas só quer usar 2. (Banana + Maçã é a mesma coisa que Maçã + Banana? Sim. A ordem não muda o gosto. Isso é Combinação).
Você tem 15 tipos de castanhas, quer usar 5. (Combinação de novo).
Para fazer a vitamina completa, você precisa das frutas E das castanhas. Na matemática, “E” significa Multiplicação.
O verdadeiro desafio aqui é lembrar a “cara” da fórmula da combinação (aquela que tem fatorial em cima e dois fatoriais embaixo).

Plano de Ataque:

Identificar o Tipo de Agrupamento: A ordem importa? Não. (Uso Combinação).
Montar a Fórmula dos Tecidos: C(6, 2).
Montar a Fórmula das Pedras: C(15, 5).
Juntar as Etapas: Multiplicar os dois blocos.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos abrir a maleta da Combinatória.

Ferramenta 1: Combinação Simples (A Ordem NÃO Importa)
Quando escolhemos um time, um grupo ou ingredientes, a ordem não altera o resultado.
Fórmula:
C(n, p) = n! / [ p! . (n – p)! ]

n: Total disponível (o número maior).
p: Quantos eu quero escolher (o número menor).
(Note que no denominador aparecem dois números que, somados, dão o número de cima).

Ferramenta 2: O Princípio do “E” vs. “OU”

Vou usar tecido E pedra? Multiplica (x).
Vou usar tecido OU pedra? Soma (+).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos montar as expressões:

Etapa 1: Escolher os Tecidos

Total (n) = 6.
Escolha (p) = 2.
Fórmula: 6! / [ 2! . (6 – 2)! ]
Simplificando o parênteses: 6! / ( 2! . 4! )

Etapa 2: Escolher as Pedras

Total (n) = 15.
Escolha (p) = 5.
Fórmula: 15! / [ 5! . (15 – 5)! ]
Simplificando o parênteses: 15! / ( 5! . 10! )

Etapa 3: A Fantasia Completa
A fantasia é composta por (Tecidos) E (Pedras).
Logo, multiplicamos as duas frações:
[ 6! / (2! . 4!) ] . [ 15! / (5! . 10!) ]

Obs: Na alternativa A, a ordem dos fatores no denominador pode estar trocada (4!2! em vez de 2!4!), mas na multiplicação a ordem não altera o produto. Está correto.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com o sinal de MAIS (+)!
Muitos alunos pensam: “Vou juntar tecido com pedra, então vou somar”.
Errado! Na combinatória, “juntar etapas de um mesmo processo” é multiplicar.
Se você tem 2 camisas e 3 calças, você tem 2 + 3 = 5 looks? Não! Você tem 2 x 3 = 6 looks. O princípio é multiplicativo. A alternativa B é a armadilha do sinal de mais.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Combinação de 6 tomados 2 a 2 VEZES Combinação de 15 tomados 5 a 5.
Expectativa: Duas frações de fatorial multiplicadas.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) [ 6! / (4! . 2!) ] . [ 15! / (10! . 5!) ]

Análise de Correspondência: Perfeita.
- Primeira fração: Combinação de 6 escolhe 2 (onde 4! é o n-p).
- Segunda fração: Combinação de 15 escolhe 5 (onde 10! é o n-p).
- Operação: Multiplicação (ponto).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

B) [ 6! / (4! . 2!) ] + [ 15! / (10! . 5!) ]

Diagnóstico do Erro: Erro de Operação (Princípio Aditivo).
Análise: Usou o sinal de soma (+). Isso seria usado se a pessoa fosse escolher “OU tecidos OU pedras”, mas ela vai usar ambos para fazer uma única fantasia.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

C) [ 6! / 2! ] + [ 15! / 5! ]

Diagnóstico do Erro: Fórmula Errada (Arranjo) e Operação Errada.
Análise:
1. Falta o termo (n−p)!(n−p)! no denominador. Essa fórmula (n!/p!)(n!/p!) não existe na análise combinatória padrão. (Arranjo seria n!/(n−p)!n!/(n−p)!).
2. Usa soma em vez de multiplicação.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) [ 6! / 2! ] . [ 15! / 5! ]

Diagnóstico do Erro: Fórmula Incompleta.
Análise: Novamente, falta a parte da subtração no denominador (n−p)!(n−p)!. O aluno esqueceu metade da fórmula da combinação.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

E) 21! / (7! . 14!)

Diagnóstico do Erro: “Mistureba Total”.
Análise: O aluno somou tudo: 6 tecidos + 15 pedras = 21 itens totais. E somou as escolhas: 2 + 5 = 7 escolhas. Fez uma combinação de 21 escolhe 7. Isso está errado porque tecidos e pedras são conjuntos distintos, não podem ser misturados no mesmo saco de sorteio.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
Para montar a fantasia, realizamos duas escolhas independentes onde a ordem não importa (Combinação de tecidos e Combinação de pedras); pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de possibilidades é o produto dessas duas combinações, conforme a fórmula da alternativa A.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
Ordem não importa = Combinação (Fórmula completa).
Etapa 1 “E” Etapa 2 = Multiplicação.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com a Loteria (Mega-Sena).
Como calcular a chance de ganhar na Mega?
Você tem 60 números e escolhe 6. A ordem não importa (1, 2, 3 é igual a 3, 2, 1).
A conta é exatamente a mesma da nossa questão: C(60, 6) = 60! / [ 6! . 54! ].
O resultado dá mais de 50 milhões de combinações. É por isso que é tão difícil ganhar!