Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
a) 9!
b) 4! 5!
c) 2 × 4! 5!
d) 9!/2
e) 4! 5!/2
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Análise Combinatória: Permutação Simples e com Repetição)
- Português (Fonética: Vogais e Consoantes)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo do número de anagramas de uma frase com a restrição de alternância entre vogais e consoantes.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige a aplicação do princípio fundamental da contagem em um problema de permutação com restrição. É preciso primeiro analisar a estrutura da frase (quantas vogais e consoantes), verificar se a alternância é possível, identificar a existência de letras repetidas e, finalmente, montar a expressão correta para o número de anagramas.
✅ Gabarito
Alternativa E.
Resumo: O número total de anagramas é o produto do número de permutações das consoantes pelo número de permutações das vogais. Há 5 consoantes (com o ‘T’ repetido 2 vezes) e 4 vogais distintas. O cálculo correto é (5!/2!) × 4!. A expressão da alternativa E, (4! 5!)/2, é matematicamente equivalente a este resultado.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“formar todos os anagramas da frase ‘I AM POTTER’, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para contar de quantas maneiras diferentes podemos rearranjar as letras da frase “I AM POTTER”, com duas condições:
- As letras devem ser todas juntas, como em “IAMPOTTER”.
- Vogais e consoantes devem se alternar (ex: C-V-C-V…).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Separar e contar as vogais e as consoantes da frase, notando as repetições.
- Determinar a única estrutura de alternância possível.
- Calcular o número de arranjos para as vogais e para as consoantes separadamente.
- Multiplicar os resultados para encontrar o total de anagramas.
🧠 Existem letras repetidas na frase “I AM POTTER”? Achar letras repetidas é crucial em problemas de permutação, pois isso muda a fórmula a ser usada!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Anagrama: Uma permutação (rearranjo) das letras de uma palavra ou frase.
- Permutação Simples (P_n): O número de maneiras de ordenar n objetos distintos. É calculado por n!.
- Permutação com Repetição (P_n^(k₁, k₂, …)): O número de maneiras de ordenar n objetos, onde alguns se repetem. É calculado por n! / (k₁! ⋅ k₂! ⋅ …), onde k₁, k₂, etc. são as contagens de cada elemento repetido.
- Princípio Multiplicativo: Se um evento pode ocorrer de m maneiras e, para cada uma delas, um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, então os dois eventos podem ocorrer em sequência de m × n maneiras.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Vamos desmontar a frase “I AM POTTER” em suas peças:
- Total de letras: 9
- Vogais (V): I, A, O, E (Total: 4 vogais, todas diferentes)
- Consoantes (C): M, P, T, T, R (Total: 5 consoantes, com o ‘T’ aparecendo duas vezes)
A regra é que vogais e consoantes devem se alternar. Com 5 consoantes e 4 vogais, a única forma de montar essa “corrente” é começando e terminando com uma consoante:
C V C V C V C V C
Nossa tarefa é calcular de quantas formas podemos preencher esses 9 “espaços” seguindo essa regra. Isso envolve duas tarefas independentes: arrumar as consoantes nos seus lugares e arrumar as vogais nos seus.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será:
- Calcular o número de permutações possíveis para as 5 consoantes nos seus 5 lugares (lembrando da repetição do ‘T’).
- Calcular o número de permutações possíveis para as 4 vogais nos seus 4 lugares.
- Multiplicar os dois resultados.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Análise da Estrutura e das Letras
- Frase sem espaços: IAMPOTTER
- Vogais (4): {I, A, O, E}. Todas são distintas.
- Consoantes (5): {M, P, R, T, T}. Temos a letra ‘T’ repetida 2 vezes.
Etapa 2: Definir a Estrutura do Anagrama
- Como temos 5 consoantes e 4 vogais, a única forma de intercalá-las é começando com uma consoante:
C V C V C V C V C
Etapa 3: Calcular o número de permutações das CONSOANTES
- Temos 5 posições de consoante para preencher com as letras {M, P, R, T, T}.
- Como a letra ‘T’ se repete 2 vezes, usamos a fórmula de permutação com repetição.
- Nº de arranjos das consoantes = P₅² = 5! / 2!
Etapa 4: Calcular o número de permutações das VOGAIS
- Temos 4 posições de vogal para preencher com as letras {I, A, O, E}.
- Como todas as vogais são distintas, usamos a fórmula de permutação simples.
- Nº de arranjos das vogais = P₄ = 4!
Etapa 5: Calcular o número total de anagramas
- Pelo Princípio Multiplicativo, o número total de anagramas é o produto dos arranjos das consoantes pelos arranjos das vogais.
- Total = (Nº de arranjos das consoantes) × (Nº de arranjos das vogais)
- Total = (5! / 2!) × 4!
Etapa 6: Comparar com as Alternativas
- A expressão que encontramos é (5! / 2!) × 4!.
- Vamos analisar a expressão da alternativa E: (4! 5!) / 2.
- Sabemos que 2! = 2.
- Portanto, a nossa expressão (5! / 2!) × 4! é matematicamente idêntica a (5! × 4!) / 2, que é a mesma coisa que (4! 5!) / 2.
- As expressões são equivalentes.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha mais comum é esquecer a repetição da letra ‘T’. Se um aluno calculasse a permutação das consoantes como 5! (em vez de 5!/2!), chegaria ao resultado 5! 4!, que é a alternativa B e está incorreta. Outra armadilha é não perceber que a expressão (4! 5!) / 2 é a mesma coisa que (5!/2!) × 4!.
Fechamento e Expectativa
O cálculo correto nos levou à expressão (5!/2!) × 4!, que é equivalente à alternativa E.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 9! – Incorreta. Permutação total sem restrições.
🔴 B) 4! 5! – Incorreta. Ignora a repetição da letra ‘T’.
🔴 C) 2 × 4! 5! – Incorreta. Não há duas estruturas possíveis de intercalação.
🔴 D) 9!/2 – Incorreta. Permutação total com repetição do ‘T’, mas sem a restrição de intercalação.
🟢 E) (4! 5!) / 2 – Correta. É matematicamente equivalente à expressão correta derivada do problema: (5! / 2!) × 4!.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para formar os anagramas da frase “I AM POTTER” com vogais e consoantes intercaladas, primeiro separamos as letras em 4 vogais distintas e 5 consoantes (com o ‘T’ repetido duas vezes). A única estrutura de alternância possível é C-V-C-V-C-V-C-V-C. O número de maneiras de arranjar as consoantes em suas posições é dado pela permutação com repetição P₅² = 5! / 2!. O número de maneiras de arranjar as vogais distintas é a permutação simples P₄ = 4!. O número total de anagramas é o produto desses dois valores: (5! / 2!) × 4!. Essa expressão é matematicamente idêntica à apresentada na alternativa E, (4! 5!) / 2, pois 2! = 2.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas de anagrama com restrição de alternância seguem a receita:
1) Separe os grupos (vogais/consoantes).
2) Defina a estrutura (CVCV… ou VCVC…).
3) Calcule a permutação dentro de cada grupo (cuidado com as repetições!). 4) Multiplique os resultados.