Quatro candidatos se apresentaram para realizar a prova de um concurso. Antes de iniciar a prova, os celulares dos quatro candidatos foram recolhidos pelo aplicador, que os guardou, cada um, dentro de um envelope preto. Ao término da prova, o aplicador devolveu os quatro envelopes com os celulares aos quatro candidatos, de maneira aleatória, já que não havia feito a identificação dos envelopes.
A probabilidade de que todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares é
A) 1/2
B) 1/10
C) 1/16
D) 1/24
E) 1/256
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Probabilidade Básica
- Análise Combinatória (Permutação Simples)
- Fatorial
- Tema/Objetivo Geral: Cálculo da probabilidade de ocorrência de um arranjo específico dentro de um universo de todas as permutações possíveis.
- Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do Nível: A questão é de nível médio porque, embora o cenário seja simples, a solução exige o conhecimento de um conceito específico de análise combinatória (permutação/fatorial). Não é um problema que se resolve com aritmética básica, exigindo um passo a mais no raciocínio matemático.
- Gabarito: D) 1/24.
- Explicação Resumida: Existe apenas 1 jeito certo de devolver os celulares, mas existem 24 maneiras possíveis de distribuí-los (permutação de 4, ou 4!), logo, a probabilidade é 1/24.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: A missão é calcular a chance de um “milagre” acontecer: em uma devolução totalmente aleatória de 4 celulares para 4 pessoas, qual é a probabilidade de que todo mundo, por pura sorte, receba o seu próprio aparelho de volta?
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como um jogo de “Amigo Secreto” às cegas. Quatro pessoas escrevem seus nomes em papéis, que são embaralhados em um chapéu. Uma pessoa sorteia os papéis e os distribui. Qual é a chance de que, por coincidência, cada pessoa receba o envelope com o seu próprio nome dentro? O verdadeiro desafio aqui é contar de quantas maneiras diferentes essa distribuição “errada” (ou certa) pode acontecer.
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Calcular o Universo Total: Primeiro, vamos descobrir o número total de maneiras que os 4 envelopes podem ser distribuídos. Este será o nosso “espaço amostral”.
- Identificar o Caso de Sucesso: Depois, vamos contar quantos desses jeitos correspondem ao “sucesso” (todos recebem o celular certo).
- Aplicar a Lei da Probabilidade: Por fim, vamos dividir o número de sucessos pelo número total de possibilidades.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para contar todas as maneiras de arranjar um grupo de itens, a ferramenta perfeita é a Permutação, calculada com o Fatorial (!). Vamos construir esse raciocínio com um diálogo.
- Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠): Construindo o Raciocínio Fatorial
- 🕵️♂️ Mentor: “Imagine que você é o aplicador com os 4 envelopes na mão. Para o primeiro candidato, quantos envelopes diferentes você pode escolher para entregar?”
- 🧠 Aluno: “Quatro. Qualquer um deles.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Ótimo. Agora você já entregou um. Para o segundo candidato, quantos envelopes restam na sua mão?”
- 🧠 Aluno: “Agora só restam três.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Exato. E para o terceiro candidato?”
- 🧠 Aluno: “Dois.”
- 🕵️♂️ Mentor: “E para o último candidato, coitado?”
- 🧠 Aluno: “Só sobrou um. Nenhuma escolha.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Perfeito! Para saber o número total de sequências de entrega possíveis, o ‘Princípio Multiplicativo’ nos diz para multiplicar as possibilidades de cada etapa. Qual é o resultado?”
- 🧠 Aluno: “4 × 3 × 2 × 1 = 24.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Exatamente! E esse cálculo tem um nome especial na matemática: Fatorial de 4, ou 4!. Encontramos o número total de maneiras de arranjar, ou permutar, os 4 envelopes. Nosso universo total é de 24 possibilidades.”
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos executar nosso plano de ataque com os dados que descobrimos.
- Universo Total de Possibilidades: Como vimos, o número total de maneiras de distribuir os 4 envelopes é a permutação de 4, que é:
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
- Existem 24 cenários diferentes que podem acontecer.
- Casos de Sucesso: Agora, vamos pensar no nosso objetivo: “todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares”.
- De todas as 24 misturas possíveis, quantas delas correspondem a essa ordem perfeita? Apenas uma. Apenas a sequência onde o Candidato A recebe o celular A, o B recebe o B, o C recebe o C, e o D recebe o D.
- Cálculo da Probabilidade: A fórmula da probabilidade é: P = (Casos Favoráveis) / (Casos Possíveis)
- P = 1 / 24.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é confundir eventos dependentes (como este) com eventos independentes. Um aluno poderia pensar: “A chance do primeiro candidato receber o celular certo é 1/4. A do segundo também é 1/4…”. Isso o levaria a multiplicar 1/4 × 1/4 × 1/4 × 1/4, resultando em 1/256 (Alternativa E). A armadilha é esquecer que, uma vez que o primeiro envelope é entregue, o número de opções para o segundo muda. As escolhas não são independentes.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A probabilidade é a razão entre a única combinação correta e o número total de permutações possíveis dos 4 itens.
- Expectativa: A resposta deve ser a fração 1/24.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 1/2 e B) 1/10
- A “Narrativa do Erro”: Estes valores não surgem de um raciocínio padrão de probabilidade ou combinatória para este cenário. Indicam uma suposição ou um cálculo sem relação com o problema.
- O “Diagnóstico do Erro”: Raciocínio Incorreto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) 1/16
- A “Narrativa do Erro”: O aluno pode pensar que existem 4×4 = 16 combinações possíveis, talvez confundindo com um problema onde há reposição dos itens. Ele calcula o espaço amostral de forma errada.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Permutação (sem reposição) com Arranjo com Repetição.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) 1/24
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao nosso cálculo. O numerador (1) é o único caso de sucesso, e o denominador (24) é o total de permutações de 4 itens (4!).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- E) 1/256
- A “Narrativa do Erro”: O aluno cai na “Armadilha Clássica”. Ele calcula a probabilidade para cada candidato como se fossem eventos independentes (sempre 1/4) e as multiplica: (1/4)⁴ = 1/256.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Eventos Dependentes com Independentes. A probabilidade para o segundo candidato receber o celular certo (dado que o primeiro acertou) seria 1/3, não 1/4.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa D) 1/24 é a correta, pois em um sorteio sem reposição, a chance de a ordem “perfeita” ocorrer é uma em meio a todas as permutações possíveis.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Ordem certa: só uma. Bagunça total: fatorial!”
- Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O princípio de “uma combinação correta em meio a um número fatorial de possibilidades” é a base da segurança de senhas e da criptografia. Uma senha de 8 caracteres diferentes é uma permutação específica de letras, números e símbolos. O “hacker” tentando adivinhar sua senha está na mesma posição do aplicador tentando devolver os celulares. A segurança da senha reside no fato de que o número total de permutações possíveis é astronomicamente grande (muito maior que 24!), tornando a chance de adivinhar a única sequência correta praticamente nula. A matemática que resolveu a questão dos celulares é a mesma que protege suas contas digitais.