O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
A) 135 e 7 horas e 15 minutos.
B) 45 e 7 horas e 15 minutos.
C) 135 e 12 horas.
D) 135 e 6 horas.
E) 45 e 6 horas.
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Analítica (Vetores)
- Trigonometria (Lei dos Cossenos, Relações Trigonométricas)
- Geometria Plana (Propriedades de Triângulos, Soma de Ângulos Internos)
- Interpretação de Bússola (Navegação por Azimute)
- Tema/Objetivo Geral: Cálculo de um vetor de correção (distância e direção) para uma rota de navegação que sofreu um desvio inicial.
- Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe do Nível: A questão é difícil porque exige a síntese de múltiplos conceitos avançados de matemática. É preciso traduzir um problema de navegação para um modelo geométrico, aplicar a Lei dos Cossenos com um ângulo obtuso (que exige conhecimento de relações trigonométricas), e calcular a direção final por meio de uma análise angular complexa.
- Gabarito: A) 135 e 7 horas e 15 minutos.
- Explicação Resumida: A rota de correção (TR) é geometricamente equivalente à rota (SQ). A distância/tempo de SQ é encontrada pela Lei dos Cossenos no triângulo PSQ, e a direção é encontrada pelas propriedades deste mesmo triângulo isósceles.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: Um navegador cometeu um erro de rumo no início da viagem e acabou no ponto errado (T). Nossa missão, juntos, é dar a ele as duas informações que o salvarão: 1) Para qual direção exata na bússola ele deve apontar o barco agora? 2) Por quanto tempo ele deve navegar em linha reta para, finalmente, chegar ao seu destino (ponto R)?
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que o navegador tinha um mapa do tesouro (rota P-Q-R), mas leu a primeira instrução errada e seguiu um “mapa falso” (rota P-S-T). Agora ele está perdido (em T) e precisa de uma nova instrução, uma única linha reta que o leve de onde ele está até o “X” do tesouro (ponto R). O nosso desafio é usar a geometria dos dois mapas para desenhar essa rota de resgate.
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Encontrar a Pista-Mestra: Identificar a relação geométrica entre a rota planejada e a executada para simplificar o problema.
- Construir o Triângulo de Análise: Focar no triângulo cujos lados representam os deslocamentos conhecidos e o desconhecido.
- Calcular o Tempo de Viagem: Usar a Lei dos Cossenos para encontrar a distância do percurso de correção e, consequentemente, o tempo.
- Calcular a Direção da Viagem: Usar as propriedades do triângulo para encontrar o novo rumo na bússola.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso complexo, precisamos de duas ferramentas de alta precisão do nosso arsenal investigativo.
- Ferramenta 1: O Princípio da Translação Vetorial (A Pista-Mestra)
O enunciado nos diz que o segundo trecho de ambas as viagens foi idêntico: “navegar por 2 horas na direção 90”. Isso significa que o vetor ST (da rota executada) é exatamente igual ao vetor QR (da rota planejada). Geometricamente, isso forma um paralelogramo (SQRT). E a propriedade fundamental de um paralelogramo é que seus lados opostos são iguais. Portanto:- O vetor de correção TR é idêntico ao vetor SQ.
- Nossa Missão Simplificada: Em vez de nos preocuparmos com o desconhecido TR, vamos calcular o vetor SQ, pois temos todas as informações para fazer isso a partir do ponto de partida P!
- Ferramenta 2: A Lei dos Cossenos (A Calculadora de Distâncias)
Quando temos um triângulo e conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, podemos descobrir o terceiro lado com esta fórmula:
c² = a² + b² – 2ab * cos(C)
Usaremos isso no triângulo PSQ para descobrir o comprimento de SQ.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, dividindo a investigação em duas partes: Tempo e Direção.
Parte I: Calculando o Tempo de Viagem (Distância TR = Distância SQ)
- Montando o Triângulo PSQ:
- Lado PS: Rota executada, 4 horas. Vamos chamar a distância de d_PS = 4.
- Lado PQ: Rota planejada, 4 horas. d_PQ = 4.
- Ângulo SPQ: É a diferença entre as direções 340° e 110°. O ângulo é (360° – 340°) + 110° = 20° + 110° = 130°.
- Aplicando a Lei dos Cossenos:
SQ² = PS² + PQ² – 2(PS)(PQ) * cos(130°)
SQ² = 4² + 4² – 2(4)(4) * cos(130°)
SQ² = 16 + 16 – 32 * cos(130°)
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Como calcular cos(130°)? Um erro aqui arruinaria o caso. Usamos a relação trigonométrica: cos(θ) = -cos(180° – θ).
cos(130°) = -cos(180° – 130°) = -cos(50°).
O enunciado nos dá cos(50°) ≈ 0,64. Portanto, cos(130°) ≈ -0,64. O sinal negativo é a chave!
- Finalizando o Cálculo:
SQ² = 32 – 32 * (-0,64)
SQ² = 32 + 20,48 = 52,48
SQ = √52,48 ≈ 7,245
Como a distância é proporcional ao tempo, o tempo de viagem é 7,245 horas.
Convertendo 0,245 horas para minutos: 0,245 * 60 ≈ 14,7 minutos.
Arredondando, temos 7 horas e 15 minutos.
Parte II: Calculando a Direção (Direção TR = Direção SQ)
- Analisando o Triângulo PSQ: Como PS = PQ = 4, o triângulo é isósceles. Isso significa que os ângulos da base (opostos aos lados iguais) são iguais: ∠PQS = ∠PSQ.
- Calculando os Ângulos da Base: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
∠PQS + ∠PSQ + 130° = 180°
2 * ∠PQS = 50°
∠PQS = 25° - Calculando a Direção Final: O ângulo ∠PQS = 25° representa o quanto a direção de SQ “abre” em relação à direção da linha PQ.
- A direção da rota PQ era 110°.
- Olhando o diagrama, para ir de P para Q e depois para S, o navegador faz um giro no sentido horário. Em navegação por azimute, o sentido horário corresponde a uma soma de graus.
- Direção de SQ = (Direção da linha de referência PQ) + (Ângulo de giro ∠PQS)
- Direção de SQ = 110° + 25° = 135°.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O vetor de correção TR é idêntico ao vetor SQ. Calculamos o comprimento de SQ (≈7,245h) usando a Lei dos Cossenos e sua direção (135°) usando as propriedades de um triângulo isósceles.
- Expectativa: A resposta deve ser 135° e 7 horas e 15 minutos.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 135 e 7 horas e 15 minutos.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa corresponde perfeitamente aos resultados da nossa investigação detalhada, tanto para o tempo quanto para a direção.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- B) 45 e 7 horas e 15 minutos.
- A “Narrativa do Erro”: O tempo está correto, mas a direção está errada. O erro de 45° pode vir de um cálculo incorreto dos ângulos ou de uma interpretação visual equivocada.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo Angular.
- D) 135 e 6 horas.
- A “Narrativa do Erro”: A direção está correta, mas o tempo está errado. O valor de “6 horas” provavelmente vem de um erro na Lei dos Cossenos, como usar o Teorema de Pitágoras (√(4²+4²) ≈ 5.65h, que arredonda para 6h), ignorando que o triângulo não é retângulo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Aplicação de Fórmula Incorreta (Pitágoras em vez de Lei dos Cossenos).
- C) e E) Combinam os erros das outras alternativas.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos juntos que a alternativa A) 135 e 7 horas e 15 minutos é a correta, provando que mesmo um complexo problema de navegação pode ser resolvido ao traduzi-lo para um modelo geométrico e aplicar as leis da trigonometria.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Um erro de rota cria um triângulo; a Lei dos Cossenos desenha o atalho de volta.”
- Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O que fizemos aqui é, essencialmente, uma soma e subtração de vetores. A rota correta é vetor PR = vetor PQ + vetor QR. A rota errada é vetor PT = vetor PS + vetor ST. Como QR = ST, o vetor de correção que procuramos, TR, é a diferença vetorial PR – PT, que se simplifica para PQ – PS. O cálculo que fizemos do vetor SQ é a representação geométrica exata da subtração PQ – PS. Este mesmo princípio é a base de funcionamento dos sistemas de navegação inercial (INS) usados em aviões, submarinos e espaçonaves. Eles constantemente calculam a diferença entre a posição planejada e a posição real (medida por acelerômetros e giroscópios) para gerar vetores de correção e manter a rota.