A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

A) 2 e 3.

B) 4 e 5.

C) 5 e 6.

D) 7 e 8.

E) 8 e 9.

✍ Resolução Em Texto

  • Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
    • Geometria Plana (Triângulos: Pontos Notáveis e Propriedades)
    • Geometria Plana (Relações Métricas no Triângulo Equilátero)
  • Tema/Objetivo Geral: Calcular a distância do circuncentro (ou baricentro) aos vértices de um triângulo equilátero, utilizando a fórmula da altura e a propriedade de proporção 2:1.
  • Nível da Questão: Médio.
    • A questão exige dois passos: lembrar a fórmula da altura do triângulo equilátero e saber que o ponto equidistante dos vértices (o hospital) divide essa altura na razão de 2/3. O cálculo envolve raiz quadrada aproximada.
  • Gabarito: C
    • A alternativa está correta. A altura do triângulo é 5 . sqrt(3). A distância do hospital aos postos é 2/3 dessa altura. Usando sqrt(3) aprox 1,73, chegamos a aproximadamente 5,77 km, que está no intervalo entre 5 e 6.

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Temos três postos formando um triângulo perfeito (equilátero) de lado 10. O hospital fica exatamente no centro desse triângulo. Qual é a distância do hospital até qualquer um dos postos (os cantos)?”

Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma pizza cortada em 3 fatias iguais. O hospital é o centro da pizza. Os postos são as pontas da borda. Queremos saber o comprimento do corte que vai do centro até a ponta (o raio da pizza). Sabemos que o lado da fatia (a borda externa reta) mede 10 km.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

  • Identificar o Ponto H: Reconhecer que, em um triângulo equilátero, o ponto equidistante dos vértices é o Baricentro (e também o Circuncentro).
  • Calcular a Altura Total: Usar a fórmula da altura do triângulo equilátero.
  • Aplicar a Regra dos 2/3: Lembrar que a distância do centro até a ponta (vértice) vale dois terços da altura total.

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para resolver este caso, precisamos das propriedades sagradas do Triângulo Equilátero.

DOSSIÊ: O BARICENTRO

1. A Identidade Secreta:
Num triângulo equilátero, o ponto central é tudo ao mesmo tempo: Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.

  • Ele fica na Altura do triângulo.

2. A Fórmula da Altura (h):
Para um lado L, a altura é:
h = (L . sqrt(3)) / 2

3. A Propriedade do Baricentro (A Regra de Ouro):
O Baricentro não fica no meio exato da altura. Ele é “pesado” para baixo. Ele divide a altura em duas partes:

  • Parte Grande (Raio): Vai do Centro ao Vértice. Vale 2/3 da altura. (É o que queremos!)
  • Parte Pequena (Apótema): Vai do Centro ao lado. Vale 1/3 da altura.

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos calcular seguindo o mapa.

1. Calculando a Altura Total (h):

  • Lado (L) = 10 km.
  • h = (10 . sqrt(3)) / 2
  • Dividindo 10 por 2:
    h = 5 . sqrt(3) km

2. Calculando a Distância do Hospital (D):
O enunciado pede a distância até os postos (vértices). Pela nossa ferramenta, isso é a Parte Grande.

  • D = (2/3) . h
  • D = (2/3) . 5 . sqrt(3)
    D = (10 . sqrt(3)) / 3 km

3. Traduzindo para Números Reais (A Aproximação):
Para achar a alternativa, precisamos aproximar a raiz de 3. O valor padrão é 1,7 (ou 1,73 para mais precisão).
Vamos usar 1,73:

  • D = (10 . 1,73) / 3
  • D = 17,3 / 3

Vamos fazer a divisão:

  • 17 dividido por 3 dá 5 (sobra 2).
  • 23 dividido por 3 dá 7…
    D ≈ 5,76 km

Conclusão Forense: A distância é de aproximadamente 5,76 km. Olhando as opções, isso cai exatamente entre 5 e 6.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨

CUIDADO! Existem duas armadilhas fatais aqui:

  • Achar que é metade: Muito aluno pega a altura (8,65 km) e divide por 2, achando 4,3 km (Alternativa B). O baricentro não é o ponto médio da altura!
  • Calcular o Apótema: Calcular a distância do hospital até a rua (lado do triângulo), que é 1/3 da altura. Isso daria 2,88 km (Alternativa A). A questão pede a distância até o posto (vértice).

A Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: Calculamos a altura do triângulo equilátero e pegamos 2/3 desse valor.
  • Expectativa: Um valor próximo de 5,7 ou 5,8.

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 2 e 3.

  • A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou o apótema (1/3 da altura), que é a distância do hospital até o meio da estrada, não até o posto.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

B) 4 e 5.

  • A “Narrativa do Erro”: O candidato achou que o hospital ficava no meio da altura (h/2). A altura é ~8,66, metade é 4,33. Errou a propriedade do baricentro.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

C) 5 e 6.

  • Análise de Correspondência: Perfeita. O nosso cálculo de aprox. 5,76 km se encaixa confortavelmente neste intervalo.
  • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

D) 7 e 8.

  • A “Narrativa do Erro”: Erro de cálculo. Talvez tenha esquecido de dividir por 3 na fórmula final, ou usado uma aproximação muito grosseira para raiz de 3.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

E) 8 e 9.

  • A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou a altura total do triângulo (5 . 1,73 = 8,65) e achou que essa era a distância. Mas a altura vai de ponta a ponta (vértice até o lado oposto), passando “por trás” do hospital.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa C é a correta. Em triângulos equiláteros, o centro de equilíbrio (baricentro) está sempre mais próximo da base do que do topo, obedecendo à divina proporção de 2 para 1.

Resumo-flash (A Imagem Mental): O Hospital segura o triângulo: ele agarra a altura pelo “pescoço”, deixando 2 partes para cima (cabeça) e 1 parte para baixo (corpo).

Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O conceito de Baricentro (Centro de Gravidade) é crucial na Engenharia Civil e Automotiva. Ao projetar um carro de Fórmula 1, os engenheiros tentam baixar o baricentro o máximo possível (perto do chão) para aumentar a estabilidade nas curvas. Se o carro fosse um triângulo e o baricentro ficasse muito alto (perto do vértice de cima), ele capotaria facilmente. Na questão, o hospital está no ponto de equilíbrio perfeito da cidade triangular.