Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

A)

B)

C)

D)

E)

Resolução em vídeo

(ENEM 2024) Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de func

✍ Resolução Em Texto

  • Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
    • Matemática (Análise Combinatória: Combinações Simples)
    • Matemática (Princípio Aditivo e Multiplicativo)
  • Tema/Objetivo Geral: Calcular o número de maneiras de formar grupos (equipes) onde a ordem não importa, respeitando uma condição de quantidade mínima (“pelo menos”).
  • Nível da Questão: Médio.
    • Exige que o aluno divida o problema em casos distintos (cenários) e saiba a diferença crucial entre quando somar (+) e quando multiplicar (x) as possibilidades. Além disso, requer o reconhecimento da fórmula de combinação em formato de fatorial.
  • Gabarito: E
    • A alternativa está correta. A expressão soma os três casos possíveis: (3 cardiologistas E 2 neurologistas) OU (4 cardiologistas E 1 neurologista) OU (5 cardiologistas E 0 neurologistas).

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Temos 7 médicos de coração e 6 de cérebro. Precisamos montar um time de 5 pessoas. A regra é: tem que ter no mínimo 3 médicos de coração. Quantos times diferentes podemos formar?”

Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você está montando uma salada de frutas com 5 ingredientes.

  • Você tem 7 tipos de frutas doces (Cardiologistas).
  • Você tem 6 tipos de frutas cítricas (Neurologistas).
  • A receita exige pelo menos 3 frutas doces. Você pode fazer a salada com:
  • 3 Doces e 2 Cítricas.
  • 4 Doces e 1 Cítrica.
  • 5 Doces e 0 Cítricas.
    Você precisa calcular as receitas possíveis para cada cenário e somar tudo no final.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

  • Identificar a Ferramenta: Como a ordem dos médicos não muda a equipe (Dr. João e Dr. Pedro é a mesma equipe que Dr. Pedro e Dr. João), usaremos Combinação.
  • Listar os Casos: Separar as situações possíveis que atendem ao “pelo menos 3”.
  • Montar a Expressão: Escrever a fórmula de combinação para cada caso e somá-los (Regra do “OU”).

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para resolver este caso, precisamos da Fórmula da Combinação e das Regras de Operação.

DOSSIÊ: COMBINAÇÃO E LÓGICA

1. A Fórmula da Combinação:
Para escolher k pessoas em um grupo de n disponíveis:
C(n, k) = n! / [ k! . (n – k)! ]
(Lembre-se: “!” significa fatorial, ex: 4! = 4.3.2.1)

2. A Regra do “E” (Multiplicação):
Dentro de uma mesma equipe, você escolhe Cardiologistas E Neurologistas.
Operação: Multiplicação (x).

3. A Regra do “OU” (Soma):
Você pode formar a equipe do Tipo 1 OU a equipe do Tipo 2 OU a equipe do Tipo 3.
Operação: Soma (+).

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos construir os três cenários possíveis para ter “pelo menos 3 cardiologistas” em um time de 5.

Total Disponível: 7 Cardiologistas (C) e 6 Neurologistas (N).

Cenário A: 3 Cardiologistas e 2 Neurologistas

  • Escolher 3 C de 7: 7! / (3! . 4!) (Note que 3+4=7)
  • Escolher 2 N de 6: 6! / (2! . 4!) (Note que 2+4=6)
  • Conta do Cenário A: (Combinação C) x (Combinação N).

Cenário B: 4 Cardiologistas e 1 Neurologista

  • Escolher 4 C de 7: 7! / (4! . 3!)
  • Escolher 1 N de 6: 6! / (1! . 5!)
  • Conta do Cenário B: (Combinação C) x (Combinação N).

Cenário C: 5 Cardiologistas e 0 Neurologistas (Time Puro)

  • Escolher 5 C de 7: 7! / (5! . 2!)
  • Escolher 0 N de 6: 6! / (0! . 6!) (Matematicamente, escolher 0 é 1 possibilidade).
  • Conta do Cenário C: (Combinação C) x (Combinação N).

A Grande Soma:
Como pode acontecer o Cenário A OU o B OU o C, somamos tudo:
[Expressão A] + [Expressão B] + [Expressão C]

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨

CUIDADO! A armadilha mortal aqui é confundir a Soma com a Multiplicação entre os blocos grandes.

  • Se você multiplicar os cenários (Alternativa D), você estaria calculando a chance de formar TRÊS equipes simultaneamente (uma de cada tipo).
  • Se você quer formar APENAS UMA equipe que pode ser de um tipo OU de outro, você deve somar.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: Identificamos três casos mutuamente exclusivos. Dentro de cada caso, multiplicamos as combinações de médicos. No final, somamos os resultados dos três casos.
  • Expectativa: Uma expressão longa com três blocos somados (+), e dentro de cada bloco, duas frações multiplicadas (x).

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) (Fração x Fração)

  • O “Diagnóstico do Erro”: Incompleta. Essa expressão calcula apenas o primeiro caso (3 cardiologistas e 2 neurologistas?), e ainda assim a notação do fatorial está estranha (4! x 4! no denominador não fecha a conta correta da combinação padrão). Representa uma visão parcial do problema.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

B) (Fração x Fração)

  • O “Diagnóstico do Erro”: Caso Único. Esta alternativa calcula perfeitamente o número de equipes com exatamente 3 cardiologistas e 2 neurologistas. Mas o enunciado pediu “pelo menos 3”, o que obriga a incluir os casos de 4 e 5 cardiologistas.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

C) (Fração + Fração + Fração)

  • O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Conectivo (Falta o “E”). Aqui o aluno somou as escolhas de cardiologistas, mas ignorou os neurologistas. É como se ele escolhesse apenas os médicos do coração e esquecesse de completar a equipe com os outros médicos.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

D) (Bloco A) x (Bloco B) x (Bloco C)

  • O “Diagnóstico do Erro”: O Pecado do “E”. O aluno multiplicou os três cenários. Isso significaria calcular “Quantas formas existem de montar a Equipe A E a Equipe B E a Equipe C ao mesmo tempo”. O problema pede apenas uma equipe.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

E) (Bloco A) + (Bloco B) + (Bloco C)

  • Análise de Correspondência: Perfeita.
    • Primeiro termo: 3 C e 2 N.
    • Segundo termo: 4 C e 1 N.
    • Terceiro termo: 5 C e 0 N.
    • Conectivo principal: Soma (+), indicando opções alternativas.
  • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento
Confirmamos que a alternativa E é a correta. Em combinatória, a expressão “pelo menos” é um sinal de alerta para dividir o problema em vários cenários e somar as possibilidades no final.

Resumo-flash (A Imagem Mental)
Escolher o time é multiplicar (Cardio x Neuro); Juntar as opções de time é somar (Cenário 1 + Cenário 2 + …).

Para ir Além (A Ponte para o Futuro)
Esse raciocínio é a base do Pôquer. Para calcular a chance de um “Full House” (uma trinca e uma dupla), você usa exatamente essa lógica: (Combinação das cartas para a trinca) x (Combinação das cartas para a dupla). Se você quisesse saber a chance de tirar um “Full House” OU uma “Quadra”, você calcularia cada um separado e somaria as possibilidades, assim como fizemos com os médicos.