Os candidatos A, B e C participaram de um concurso composto por uma prova de Matemática, uma de Português e outra de Geografia, sendo os pesos dessas três provas diferentes. As notas obtidas por esses três candidatos e os pesos atribuídos a essas provas estão representados nas tabelas:

As notas finais são obtidas somando-se os produtos das notas pelos respectivos pesos. As notas finais dos três candidatos podem ser obtidas multiplicando-se a matriz das notas dos três candidatos nas três provas pela matriz dos pesos das três provas.

A matriz das notas finais dos três candidatos é

Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Álgebra Linear / Matrizes e Aritmética Ponderada).

Tema/Objetivo Geral:
Aplicação de multiplicação de matrizes para a resolução de problemas de média ponderada e organização de dados estatísticos.

Nível da Questão: Médio.

  • A questão exige que o aluno saiba transpor informações de tabelas para a linguagem matricial. O cálculo em si não é complexo, mas a identificação da ordem das matrizes e a regra do “produto linha por coluna” são fundamentais para não errar a estrutura da resposta final.
  • O desafio está em não confundir a disposição do resultado (se é uma linha ou uma coluna), o que exige domínio das propriedades de dimensão de matrizes.

Gabarito: Alternativa B.

  • Ao multiplicarmos a matriz de notas (3×33×3) pela matriz de pesos (3×13×1), obtemos uma matriz resultante de ordem 3×13×1 (uma coluna). Os cálculos (A: 46; B: 46; C: 43) confirmam que a pontuação final dos candidatos está corretamente expressa na disposição vertical da Alternativa B.

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão aqui é calcular a “Nota de Corte” final dos três candidatos, mas usando a linguagem das Matrizes. Em vez de fazer três contas de média separadas, o examinador quer que você execute uma operação única que entregue o “ranking” pronto em formato de coluna.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense em um caixa de supermercado. A primeira tabela é a sua “lista de compras” (quantos itens de cada tipo você levou). A segunda tabela é o “preço de cada item” (os pesos). O verdadeiro desafio aqui é entender que a nota final é o valor total do seu cupom fiscal, e a Matriz é apenas o robô que faz essa conta para os três clientes ao mesmo tempo.

Nosso Plano de Ataque será o seguinte:

  • Montar o Robô: Transformar as tabelas em blocos matemáticos (Matrizes).
  • Verificar o Encaixe: Checar se as dimensões das matrizes permitem a multiplicação.
  • Executar o Produto: Multiplicar cada linha (candidato) pela coluna (pesos).
  • Organizar o Resultado: Identificar o formato final (vetor coluna).

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para este aprofundamento exaustivo, vamos utilizar um Diálogo Mentor-Aluno para dissecar a mecânica invisível por trás das matrizes.

DIÁLOGO DE MENTORIA MATRICIAL

MENTOR: “Detetive, antes de calcular, olhe para as tabelas. Como você escreveria a ‘Matriz das Notas’ (vamos chamá-la de N)?”
ALUNO: “Eu vejo 3 candidatos nas linhas e 3 matérias nas colunas. Então a Matriz N é uma 3 por 3. Fica assim:
Linha 1 (A): [9, 6, 7]
Linha 2 (B): [8, 7, 8]
Linha 3 (C): [9, 5, 6]“

MENTOR: “Perfeito. Agora, e a ‘Matriz dos Pesos’ (vamos chamá-la de P)? Ela tem 3 matérias e 1 valor para cada.”
ALUNO: “Isso me dá uma matriz de 3 linhas e apenas 1 coluna (3 por 1). Ficaria:
[3]
[2]
[1]“

MENTOR: “Agora a regra de ouro: Você pode multiplicar N por P? Lembre-se: o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda.”
ALUNO: “N tem 3 colunas e P tem 3 linhas. O encaixe é perfeito! O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e o de colunas da segunda. Ou seja, uma matriz 3 por 1 (3 linhas e 1 coluna).”

MENTOR: “Excelente. E como fazemos a conta?”
ALUNO: “É o ‘mergulho da linha na coluna’. Pegamos a Linha do Candidato, giramos ela de lado e multiplicamos termo a termo pelos Pesos, somando tudo no final. É um Produto Escalar para cada linha!”

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos agora realizar a auditoria completa e exaustiva dos cálculos, transformando as pistas das tabelas em resultados concretos.

1. Operação Candidato A (A Primeira Linha):
Pegamos a nota de Matemática, Português e Geografia do A e multiplicamos pelos respectivos pesos:

  • Matemática: 9 * 3 = 27
  • Português: 6 * 2 = 12
  • Geografia: 7 * 1 = 7
  • Soma do Candidato A: 27 + 12 + 7 = 46.

2. Operação Candidato B (A Segunda Linha):
Repetimos o processo com as notas do B:

  • Matemática: 8 * 3 = 24
  • Português: 7 * 2 = 14
  • Geografia: 8 * 1 = 8
  • Soma do Candidato B: 24 + 14 + 8 = 46.

3. Operação Candidato C (A Terceira Linha):
Finalizamos com as notas do C:

  • Matemática: 9 * 3 = 27
  • Português: 5 * 2 = 10
  • Geografia: 6 * 1 = 6
  • Soma do Candidato C: 27 + 10 + 6 = 43.

4. A Montagem do Vetor Final:
Como tínhamos 3 candidatos (3 linhas), o resultado deve manter essas 3 linhas. Como usamos apenas 1 coluna de pesos, o resultado permanece com 1 coluna.
O “Retrato Falado” do nosso culpado é uma coluna com os valores 46, 46 e 43.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é a Alternativa A. Ela contém os mesmos números (46 não está lá, mas os valores são similares em outras questões), mas em formato de Linha (Vetor Deitado). Em matrizes, a posição é TUDO. Se você multiplica uma 3×33×3 por uma 3×13×1, o resultado é OBRIGATORIAMENTE uma Coluna (3×13×1). Não se deixe enganar pela estética; respeite a dimensão matemática!

Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: Multiplicação de matrizes segue a regra “Linha x Coluna”. O resultado de (3×3) * (3×1) gera uma matriz (3×1). As somas ponderadas resultaram em 46, 46 e 43.
  • Expectativa: Uma matriz coluna com os valores 46, 46, 43.

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) (52 37 43)

  • A Narrativa do Erro: O aluno errou as multiplicações básicas ou usou pesos errados para as matérias. Além disso, o resultado está em formato de linha, o que viola a regra de dimensões da multiplicação matricial.
  • Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo e de Dimensão.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

B) Coluna (46, 46, 43)

  • Análise de Correspondência: Esta alternativa apresenta os valores exatos calculados para cada candidato e, crucialmente, no formato correto de Matriz Coluna, que é a consequência matemática da operação solicitada.
  • Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

C) Coluna (66, 46, 20)

  • A Narrativa do Erro: O aluno provavelmente se confundiu na hora de somar os produtos ou trocou a ordem dos pesos (ex: deu peso 3 para Geografia).
  • Diagnóstico do Erro: Processamento de Dados Incorreto.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) Matriz 3×3 com (27 12 7…)

  • A Narrativa do Erro: O aluno calculou os produtos individuais (93, 62, 7*1), mas não os somou. Ele apenas organizou os resultados intermediários em uma nova tabela.
  • Diagnóstico do Erro: Omissão de Etapa (Esqueceu de realizar a soma final da média ponderada).
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

E) Matriz 3×3 com (27 18 21…)

  • A Narrativa do Erro: Similar à anterior, o aluno manteve a estrutura 3×33×3 e realizou multiplicações que não seguem a regra de produto de matrizes (multiplicou termo a termo, talvez).
  • Diagnóstico do Erro: Erro de Definição de Operação Matricial.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

A investigação foi concluída com a vitória da Alternativa B. Aprendemos que matrizes são ferramentas de organização poderosas para lidar com grandes volumes de dados de uma só vez.

Resumo-flash (A Imagem Mental): Multiplicar matrizes é como “deitar” cada linha de notas sobre a “pilha” de pesos e somar o impacto de cada uma.

Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este exato conceito de multiplicação de matrizes (Notas x Pesos) é a espinha dorsal da Inteligência Artificial e das Redes Neurais. Quando o ChatGPT ou um algoritmo de reconhecimento facial processa uma imagem, ele está pegando milhares de “notas” (pixels) e multiplicando por “pesos” (importância de cada detalhe) através de matrizes gigantescas. Sem o cálculo que você fez hoje para os candidatos A, B e C, a tecnologia moderna simplesmente não existiria. Você acabou de operar o motor básico de um robô!