Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade V de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.

A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na n-ésima medição, a retirada da (n + 1)-ésima parte do que restou.

Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições. Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente:

 Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Sequências Numéricas, Frações e Raciocínio Lógico-Indutivo).

Tema/Objetivo Geral:
Identificação de um padrão recursivo de redução de volume e generalização da lei de formação de uma sequência fracionária.

Nível da Questão: Médio.

  • A questão exige que o candidato não apenas siga as instruções, mas perceba a lei de cancelamento que ocorre entre as retiradas.
  • O desafio está na interpretação do texto: o aluno precisa diferenciar a “parte retirada” da “parte que resta”, pois o comando pede as quantidades restantes. O padrão não é óbvio no primeiro olhar, exigindo uma investigação de pelo menos três passos para ser validado.

Gabarito: Alternativa E.

  • Ao retirarmos a (n+1)-ésima parte do que restou, mantemos sempre n/(n+1) do volume anterior. Isso gera uma sequência de cancelamentos onde o volume restante após a n-ésima medição é sempre V / (n+1). Para n = 7, 8 e 9, os valores são V/8, V/9 e V/10.

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o “código secreto” de esvaziamento do reservatório. O texto descreve como a água sai em cada medição, e nós precisamos prever quanta água ainda sobrará lá dentro após os marcos de número 7, 8 e 9.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma fila de pessoas comendo um bolo. A primeira come metade. A segunda come um terço do que sobrou. A terceira come um quarto do que restou. O verdadeiro desafio aqui é: perceba que, embora as fatias pareçam complicadas, o que sobra no prato segue uma escada numérica muito simples.

Nosso Plano de Ataque será o seguinte:

  • Testar os Primeiros Passos: Calcular manualmente as 3 primeiras sobras para enxergar o padrão.
  • Identificar a Lei de Formação: Criar uma regra que relacione o número da medição (n) com o volume que resta.
  • Projetar o Futuro: Aplicar essa regra para os valores de n = 7, n = 8 e n = 9.

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para esta análise exaustiva, utilizaremos um Fluxograma de Raciocínio (em Texto) para visualizar a “limpeza” matemática que acontece a cada retirada.

FLUXOGRAMA: A DINÂMICA DO RESTANTE

  1. ESTADO INICIAL: Volume total = V.
  2. 1ª MEDIÇÃO (n=1):
    • Ação: Reduz à metade.
    • Cálculo: V / 2.
    • SOBROU: V / 2.
  3. 2ª MEDIÇÃO (n=2):
    • Regra: Retira 1/3 do que restou (V/2).
    • Lógica: Se tiro 1/3, sobram 2/3 do volume anterior.
    • Cálculo: (V / 2) x (2 / 3).
    • CANCELAMENTO: O 2 de cima corta com o 2 de baixo.
    • SOBROU: V / 3.
  4. 3ª MEDIÇÃO (n=3):
    • Regra: Retira 1/4 do que restou (V/3).
    • Lógica: Se tiro 1/4, sobram 3/4 do volume anterior.
    • Cálculo: (V / 3) x (3 / 4).
    • CANCELAMENTO: O 3 de cima corta com o 3 de baixo.
    • SOBROU: V / 4.
  5. GENERALIZAÇÃO (n-ésima):
    • Padrão Observado: O denominador da sobra é sempre n + 1.
    • Regra Geral: Sobra = V / (n + 1).

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos agora executar o plano, aplicando a regra descoberta aos alvos da nossa investigação.

1. Verificando a 7ª Medição (n = 7):
Pela nossa regra geral V / (n + 1):
Sobra = V / (7 + 1) = V / 8.

2. Verificando a 8ª Medição (n = 8):
Pela nossa regra geral V / (n + 1):
Sobra = V / (8 + 1) = V / 9.

3. Verificando a 9ª Medição (n = 9):
Pela nossa regra geral V / (n + 1):
Sobra = V / (9 + 1) = V / 10.

4. Consolidação dos Dados:
Os valores restantes são, respectivamente: 1/8 V, 1/9 V e 1/10 V.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é confundir a fração retirada com o volume restante. O aluno lê “retira-se a quinta parte” e acha que o volume vira 1/5 V. A armadilha sedutora é esquecer que a fração é sobre o restante anterior, e não sobre o total original. Se você não fizer os cancelamentos passo a passo (como mostrado no Passo 2), acabará marcando a Alternativa A ou D por puro impulso visual com os números 7, 8 e 9.

Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: O volume restante após a medição n é sempre V dividido pelo sucessor de n. Para 7, 8 e 9, os divisores devem ser 8, 9 e 10.
  • Expectativa: Procuramos a sequência de frações unitárias 1/8, 1/9 e 1/10.

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 7/8 V, 8/9 V e 9/10 V

  • A Narrativa do Erro: O aluno identifica os numeradores 7, 8 e 9 e os denominadores sucessores, mas não percebe que o volume acumulado já diminuiu drasticamente por causa das medições anteriores.
  • Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descreveu a fração de manutenção do passo atual, não o volume total restante).
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

B) 6/7 V, 7/8 V e 8/9 V

  • A Narrativa do Erro: O aluno tenta aplicar uma lógica de progressão aritmética nos numeradores, mas erra o ponto de partida do volume acumulado.
  • Diagnóstico do Erro: Erro de Projeção Sequencial.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

C) 6/8 V, 7/9 V e 8/10 V

  • A Narrativa do Erro: O candidato percebe que o denominador aumenta, mas tenta manter o numerador próximo ao número da medição, falhando em notar o cancelamento total das partes de cima.
  • Diagnóstico do Erro: Processamento de Dados Incorreto.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) 1/7 V, 1/8 V e 1/9 V

  • A Narrativa do Erro: Este é o erro de quem acha que o volume final é 1/n. O aluno esquece que a primeira medição (n=1) já resultou em 1/2 e não em 1/1.
  • Diagnóstico do Erro: Erro de Fase (Deslocamento de um termo na sequência).
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

E) 1/8 V, 1/9 V e 1/10 V

  • Análise de Correspondência: Esta alternativa apresenta exatamente os denominadores (n+1) que sobrevivem após todos os cancelamentos sucessivos das frações. É a resposta matemática exata.
  • Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

A investigação termina com a vitória da Alternativa E. Aprendemos que, em sequências de “frações de frações”, o segredo está em observar o que é cancelado para ver o que sobra.

Resumo-flash (A Imagem Mental): Cada retirada “corta” o numerador anterior; o que sobrevive é apenas o volume inicial V e o último divisor (n+1).

Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse tipo de sequência, onde os termos intermediários se cancelam restando apenas o primeiro e o último, é chamado na matemática de Série Telescópica. Ela é muito usada na Física Quântica e na Engenharia de Estruturas para calcular grandes somatórios de forças ou energias de forma simplificada. Assim como o reservatório vai perdendo água de forma previsível, o comportamento telescópico permite que computadores processem milhões de dados em segundos, focando apenas no que realmente “resta” no final do cálculo!