O metrô de um município oferece dois tipos de tíquetes com colorações diferentes, azul e vermelha, sendo vendidos em cartelas, cada qual com nove tíquetes da mesma cor e mesmo valor unitário. Duas cartelas de tíquetes azuis e uma cartela de tíquetes vermelhos são vendidas por R$ 32,40. Sabe-se que o preço de um tíquete azul menos o preço de um tíquete vermelho é igual ao preço de um tíquete vermelho mais cinco centavos.

Qual o preço, em real, de uma cartela de tíquetes vermelhos?

a) 4,68

b) 6,30

c) 9,30

d) 10,50

e) 10,65

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

  • Matemática Básica (Operações com Decimais).
  • Álgebra (Sistema de Equações do 1º Grau).

Tema/Objetivo Geral:
Traduzir um problema escrito em linguagem natural para linguagem matemática (equações), resolvendo um sistema linear para encontrar o valor unitário e, posteriormente, o valor total de um conjunto (cartela).

Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: A montagem das equações exige interpretação cuidadosa (“menos o preço… é igual a… mais cinco centavos”). Além disso, há o risco de confundir “unidade de tíquete” com “cartela”, ou errar a vírgula dos centavos (0,05 vs 5,0).

Gabarito:
Letra B – 6,30.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO- O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
Precisamos descobrir o preço de uma cartela de tíquetes vermelhos.
O texto diz que 1 cartela = 9 tíquetes.
Logo, a pergunta é: Quanto custa 9 vezes o valor do tíquete vermelho?

A Analogia Central (A Balança de Cores):
Imagine uma balança.

  • No prato da esquerda: 18 Azuis + 9 Vermelhos = Peso de R$ 32,40.
  • No prato da direita, temos uma regra de troca: 1 Azul vale 2 Vermelhos e uma moedinha de 5 centavos.
    Temos que usar a regra da direita para substituir as peças na balança da esquerda e descobrir quanto pesa o Vermelho.

Nosso Plano de Ataque:

  1. Definir as variáveis (A = preço do tíquete Azul; V = preço do tíquete Vermelho).
  2. Montar a Equação 1 (A compra total).
  3. Montar a Equação 2 (A relação de preços).
  4. Resolver o sistema para achar V.
  5. Multiplicar V por 9 (preço da cartela).

2️⃣ PASSO – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos traduzir o português para a matemática:

Fato 1 (A Compra):
“Duas cartelas de tíquetes azuis e uma cartela de tíquetes vermelhos custam 32,40”.

  • 1 cartela = 9 tíquetes.
  • 2 cartelas azuis = 18 tíquetes A.
  • 1 cartela vermelha = 9 tíquetes V.
  • Equação I: 18A + 9V = 32,40.

Fato 2 (A Relação):
“O preço de um azul (A) MENOS o preço de um vermelho (V) É IGUAL ao preço de um vermelho (V) MAIS cinco centavos (0,05)”.

  • A – V = V + 0,05
  • Isolando o A:
  • Equação II: A = 2V + 0,05.

3️⃣ PASSO- INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos aplicar a Substituição.
Sabemos que o Azul vale “dois vermelhos e cinco centavos” (A = 2V + 0,05).
Vamos colocar isso dentro da Equação I.

Equação I:
18A + 9V = 32,40

Substituindo A:
18 x (2V + 0,05) + 9V = 32,40

Fazendo a distributiva (chuveirinho):
(18 x 2V) + (18 x 0,05) + 9V = 32,40
36V + 0,90 + 9V = 32,40

Juntando os V e isolando os números:
45V = 32,40 – 0,90
45V = 31,50

Descobrindo o valor de 1 tíquete vermelho (V):
V = 31,50 / 45
V = 0,70 (Setenta centavos).

O Passo Final (Não pare aqui!):
A questão pede o preço da CARTELA de vermelhos.
A cartela tem 9 tíquetes.
Preço da Cartela = 9 x 0,70
Preço = R$ 6,30.

ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO com os “Cinco Centavos”!
O erro mais comum nesta questão é escrever “5” em vez de “0,05” na equação.
Se você escrever A = 2V + 5, você está dizendo que a diferença é de 5 REAIS. Isso vai explodir sua conta e dar um resultado errado. Lembre-se: se a conta está em Reais (32,40), os centavos têm que virar Reais (0,05).

A Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: O tíquete vermelho custa 0,70. Nove deles custam 6,30.
  • Expectativa: O valor 6,30.

4️⃣ PASSO – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) 4,68

  • Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo na divisão.
  • Análise: Talvez o aluno tenha tentado dividir 32,40 por um número incorreto de tíquetes totais, sem respeitar os pesos dos preços diferentes.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) 6,30

  • Análise: Perfeito. O sistema de equações foi montado corretamente (considerando cartelas de 9 unidades) e resolvido, chegando ao valor unitário de R0,70eaovalordacarteladeR0,70eaovalordacarteladeR 6,30.
  • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

c) 9,30

  • Diagnóstico do Erro: Mistura de valores.
  • Análise: Resultado aleatório, possivelmente vindo de erros de aritmética na substituição.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) 10,50

  • Diagnóstico do Erro: Erro nos 5 centavos.
  • Análise: Se o aluno usar “5” (reais) em vez de “0,05”, a conta muda drasticamente.
    A = 2V + 5 -> 18(2V+5) + 9V = 32,40 -> 36V + 90 + 9V = 32,40. Isso daria valor negativo, mostrando que o erro é grave. Mas valores próximos a 10 podem surgir de interpretações erradas da quantidade de cartelas.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) 10,65

  • Diagnóstico do Erro: Soma indevida.
  • Análise: Não corresponde à lógica do sistema linear proposto.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Em sistemas de equações, a atenção às unidades (reais vs centavos) e à quantidade (unitário vs pacote) é o que separa o acerto do erro.

Resumo-flash:
“O azul vale dois vermelhos e uma moeda. Substitua na balança e descubra que a cartela vermelha pesa 6 e 30.”

Para ir Além (A Ponte para o Futuro): 🧠
Sistemas lineares são a base da Contabilidade de Custos. Uma fábrica que produz dois produtos usando as mesmas matérias-primas usa exatamente esse raciocínio para descobrir quanto custa cada produto individualmente, baseando-se no gasto total da fábrica.