Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real,
poderia ser calculado pela expressão

em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30.

Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário V0 arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real.

  • Ótimo: V0 ≥ 24
  • Bom: 20 ≤ V0 < 24
  • Normal: 10 ≤ V0 < 20
  • Ruim: 4 ≤ V0 < 10
  • Péssimo: V0 < 4

No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?

a) Ótimo.

b) Bom.

c) Normal.

d) Ruim.

e) Péssimo.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

  • Matemática (Função Quadrática ou do 2º Grau).
  • Cálculo de Vértice da Parábola (Mínimo da Função).
  • Interpretação de Intervalos Numéricos.

Tema/Objetivo Geral:
Determinar o valor mínimo de uma função do segundo grau (Ydo Vértice) dentro de um intervalo de tempo definido, para classificar um desempenho financeiro.

Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O aluno precisa identificar que a função descreve uma parábola com concavidade para cima (tem um mínimo) e lembrar as fórmulas do vértice (Xv ​e Yv​). Erros de sinal ou aritmética com frações são os maiores riscos.

Gabarito:
Letra D – Ruim.

Resolução Passo a Passo

1️⃣PASSO – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
A empresa quer saber o menor montante diário (V0) arrecadado.
A fórmula de arrecadação é:
V(x) = x^2 / 4 – 10x + 105
Onde “x” é o dia do mês (de 1 a 30).

A Analogia Central (O Vale):
A função é uma equação do 2º grau com o “a” positivo (1/4).
Isso significa que o gráfico é um sorriso (U).
A arrecadação começa alta, cai até um ponto mínimo (o fundo do vale) e depois volta a subir.
A questão quer saber: Quantos reais tem no fundo desse vale?

Nosso Plano de Ataque:

  1. Calcular o dia em que ocorreu o pior faturamento (XX do Vértice).
  2. Verificar se esse dia existe (está entre 1 e 30).
  3. Calcular o valor faturado nesse dia (YY do Vértice).
  4. Olhar a tabela de classificação.

2️⃣ PASSO – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos identificar os coeficientes da função:
V(x) = (1/4)x^2 – 10x + 105

  • a = 1/4 (ou 0,25)
  • b = -10
  • c = 105

Fórmulas do Vértice:

  1. X do Vértice (O Dia): Xv = -b / 2a
  2. Y do Vértice (O Valor): Basta substituir o Xv na função original.

3️⃣PASSO – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Passo A: Descobrir o DIA do mínimo (Xv)
Xv = -(-10) / (2 * 0,25)
Xv = 10 / 0,5
Xv = 20

Análise: O pior dia foi o dia 20. Como o mês vai de 1 a 30, o dia 20 é válido. O mínimo aconteceu mesmo neste dia.

Passo B: Descobrir o VALOR do mínimo (V0)
Vamos colocar 20 no lugar de x na equação.

V(20) = (20^2 / 4) – (10 * 20) + 105
V(20) = (400 / 4) – 200 + 105
V(20) = 100 – 200 + 105

Fazendo a conta:
100 – 200 = -100
-100 + 105 = 5

Resultado: O menor valor arrecadado foi 5 (milhares de reais).

Passo C: A Classificação
Agora olhamos a tabela do enunciado:

  • Ótimo: Maior ou igual a 24.
  • Bom: Entre 20 e 24.
  • Normal: Entre 10 e 20.
  • Ruim: Entre 4 e 10.
  • Péssimo: Menor que 4.

O valor 5 está no intervalo Ruim (pois 4 <= 5 < 10).

ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO para não parar no X!
Muitos alunos calculam o Xv (20) e correm para a tabela.
Se você olhasse o número 20 na tabela, cairia em “Bom” ou “Ótimo”.
Erro Fatal! O X é o tempo (dia). A tabela classifica o Dinheiro (V0). Você é obrigado a substituir o 20 na fórmula para achar o dinheiro. O dia 20 não é a resposta, é a chave para a resposta.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: O vértice da parábola ocorre em x=20. O valor da função nesse ponto é 5. O número 5 enquadra-se na categoria “Ruim”.
  • Expectativa: Classificação Ruim.

4️⃣PASSO – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) Ótimo.

  • Diagnóstico do Erro: Confusão X vs Y.
  • Análise: O aluno calculou o Xv = 20 e achou que esse era o valor a ser classificado. Ou errou sinal e somou tudo.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) Bom.

  • Diagnóstico do Erro: Confusão X vs Y.
  • Análise: Mesmo erro da anterior. O valor 20 (o dia) cairia no limite da categoria “Bom”. Mas a classificação é sobre o valor monetário (5).
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

c) Normal.

  • Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo.
  • Análise: O aluno pode ter errado a subtração (100 – 200 + 105) e chegado em algo como 15.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) Ruim.

  • Análise: Perfeito. O cálculo do valor mínimo da função resultou em 5. Segundo a tabela, qualquer valor maior ou igual a 4 e menor que 10 é classificado como Ruim.
  • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

e) Péssimo.

  • Diagnóstico do Erro: Erro de sinal.
  • Análise: Se o aluno errar os sinais na soma final (ex: -100 – 105), pode chegar a um número negativo ou muito baixo, caindo em “Péssimo”.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO- O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Em negócios, achar o fundo do poço é vital para saber a hora de subir. A matemática da parábola mostra exatamente onde a queda para e a recuperação começa.

Resumo-flash: ⚡
“Ache o dia do fundo do poço (X=20), calcule quanto tinha no cofre (V=5) e veja que a situação estava Ruim.”

Para ir Além (A Ponte para o Futuro): 🧠
Em Economia, isso se chama “Ponto de Mínimo” ou “Vale”. Empresas usam cálculo diferencial (Derivadas) para achar esses pontos em funções muito mais complexas que uma parábola. A derivada de V(x) igual a zero indica o ponto de virada (máximo ou mínimo) de qualquer curva de lucro ou prejuízo.