Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura T, em grau Celsius. da caneca, em função do tempo t, em minuto, pode ser modelada pela função T(t) = a + 80bt representada no gráfico a seguir.

Os valores das constantes a e b são

A) a = 20; b = log(0,5)

B) a = 100; b = 0, 5

C) a = 20; b = (0, 5)1/10

D) a = 20; b = (40)1/10/80

E) a = 20; b = 40

✍ Resolução Em Texto

  • Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
    • Matemática (Função Exponencial, Propriedades de Potências)
    • Física (Termodinâmica: Lei do Resfriamento de Newton)
    • Interpretação de Gráficos
  • Tema/Objetivo Geral: Determinar os parâmetros de uma função de decaimento exponencial (a e b) a partir de pontos extraídos de seu gráfico.
  • Nível da Questão: Difícil.
    • A questão é um desafio completo. Primeiro, exige a percepção de que a função do enunciado está mal escrita e deve ser T(t) = a + 80 * b^t. Segundo, a constante a (temperatura ambiente) não pode ser lida diretamente e precisa ser calculada usando a propriedade fundamental do decaimento exponencial, o que envolve uma álgebra não trivial.
  • Gabarito: C
    • A alternativa está correta. A constante a representa a temperatura ambiente, para a qual a caneca tende. Usando a propriedade do decaimento exponencial com os pontos (0, 100), (10, 60) e (20, 40), calcula-se que a = 20. Substituindo a=20 e o ponto (10, 60) na função T(t) = 20 + 80 * b^t, chega-se a b¹⁰ = 0,5, e portanto, b = (0,5)^(1/10).

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “A temperatura da caneca segue a fórmula T(t) = a + 80 * b^t. Olhando para o gráfico, que mostra o ‘filme’ do resfriamento, descubra os valores das constantes desconhecidas ‘a’ e ‘b’.”

Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que a curva do gráfico é a trajetória de uma bola de boliche rolando por uma pista muito longa com atrito. A bola começa rápida e vai perdendo velocidade. A constante ‘a’ é a velocidade final para a qual a bola está tendendo (neste caso, a temperatura do ambiente). A constante ‘b’ é o “fator de frenagem”, que nos diz o quão rápido a bola perde velocidade. Nossa tarefa de detetive é, olhando para a trajetória da bola em alguns pontos, descobrir qual será sua velocidade final e qual é o seu fator de frenagem.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

  • Corrigir a Pista: Vamos primeiro corrigir a fórmula do enunciado, que está mal escrita, para a forma exponencial correta: T(t) = a + 80 * b^t.
  • Achar a Temperatura Ambiente (‘a’): Esta é a parte mais difícil. Usaremos a propriedade do decaimento exponencial para encontrar a assíntota da curva.
  • Achar o Fator de Frenagem (‘b’): Com o valor de ‘a’ em mãos, usaremos um ponto do gráfico para calcular ‘b’.

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para este caso, a ferramenta principal é a Lei do Resfriamento Exponencial.

DOSSIÊ: O DECAIMENTO EXPONENCIAL

  • A Lei: Em um processo de resfriamento, a diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente (ΔT = T_objeto – T_ambiente) diminui por um fator constante em intervalos de tempo iguais.
  • Tradução para o nosso caso:
  • T_ambiente = a (a constante que buscamos)
  • ΔT(t) = T(t) – a
  • A Propriedade-Chave: ΔT(10) / ΔT(0) = ΔT(20) / ΔT(10)
  • Isso significa que a “fração de calor perdida” nos primeiros 10 minutos é a mesma que a “fração de calor perdida” nos 10 minutos seguintes.
  • PONTOS EXTRAÍDOS DA EVIDÊNCIA (GRÁFICO):
  • t = 0 min → T = 100 °C
  • t = 10 min → T = 60 °C
  • t = 20 min → T = 40 °C

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Agora, vamos aplicar a “propriedade-chave” do nosso dossiê para encontrar ‘a’.

1. Montando a Equação para ‘a’:

  • ΔT(0) = 100 – a
  • ΔT(10) = 60 – a
  • ΔT(20) = 40 – a
  • Usando a propriedade ΔT(10) / ΔT(0) = ΔT(20) / ΔT(10):
    (60 – a) / (100 – a) = (40 – a) / (60 – a)

2. Resolvendo a Equação para ‘a’:

  • Multiplicando em cruz (produto dos meios igual ao produto dos extremos):
    (60 – a) * (60 – a) = (100 – a) * (40 – a)
    (60 – a)² = (100 – a)(40 – a)
  • Expandindo os produtos:
    3600 – 120a + a² = 4000 – 100a – 40a + a²
    3600 – 120a = 4000 – 140a
  • Isolando ‘a’:
    140a – 120a = 4000 – 3600
    20a = 400
    a = 400 / 20 → a = 20
  • Conclusão Parcial 1: A temperatura ambiente é 20°C.

3. Resolvendo para ‘b’:

  • Agora que sabemos a=20, a função é T(t) = 20 + 80 * b^t.
  • Vamos usar um ponto do gráfico para encontrar b. O ponto (10, 60) é uma boa escolha.
    t = 10, T(10) = 60.
  • Substituindo na função:
    60 = 20 + 80 * b¹⁰
    60 – 20 = 80 * b¹⁰
    40 = 80 * b¹⁰
    b¹⁰ = 40 / 80
    b¹⁰ = 0,5
  • Para isolar b, tiramos a raiz décima dos dois lados:
    b = (0,5)^(1/10)
  • Conclusão Parcial 2: A constante b é (0,5)^(1/10).

Conclusão da Investigação: Os valores são a = 20 e b = (0,5)^(1/10).

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨

CUIDADO! A maior armadilha é a interpretação simplista do gráfico, como achar que a temperatura ambiente é o último ponto medido (40°C) ou que o decaimento é linear. A segunda grande armadilha está na fórmula do enunciado, que, se interpretada literalmente como T(t) = a + 80 * b * t, descreveria uma reta, contradizendo o gráfico. É preciso ter o conhecimento prévio de que a lei do resfriamento é exponencial.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

  • Síntese do raciocínio: A investigação usou as propriedades do decaimento exponencial para encontrar a=20 e, em seguida, usou um ponto do gráfico para encontrar b = (0,5)^(1/10).
  • Expectativa: A alternativa correta deve conter esses dois valores.

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.

  • A) a = 20; b = log(0,5)
    • O “Diagnóstico do Erro”: Erro de cálculo. Acertou o valor de ‘a’, mas a operação para isolar ‘b’ de uma potência é a radiciação (ou um expoente fracionário), e não o logaritmo nesse formato.
    • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
  • B) a = 100; b = 0,5
    • O “Diagnóstico do Erro”: Erro conceitual. 100 é a temperatura inicial, não a ambiente. Se b=0,5, a temperatura cairia pela metade da diferença a cada minuto, um resfriamento muito mais rápido do que o mostrado.
    • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
  • C) a = 20; b = (0,5)^(1/10)
    • Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde perfeitamente aos valores que calculamos para ‘a’ e ‘b’.
    • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
  • D) a = 20; b = (40)^(1/10)/80
    • O “Diagnóstico do Erro”: Erro de álgebra. O candidato acertou ‘a’, mas se atrapalhou completamente ao tentar isolar ‘b’ na equação.
    • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
  • E) a = 20; b = 40
    • O “Diagnóstico do Erro”: Erro conceitual. Em uma função de decaimento, a base b deve ser um número entre 0 e 1. Um valor de b=40 representaria um crescimento explosivo.
    • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa C é a correta. Este caso é uma demonstração magistral de como as leis da física (Lei do Resfriamento) se traduzem em modelos matemáticos (funções exponenciais) que podem ser decifrados através da análise de dados experimentais (o gráfico).

Resumo-flash (A Imagem Mental): O segredo do resfriamento estava na proporção: a queda de temperatura na primeira metade do tempo era o dobro da queda na segunda metade.

Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de usar o decaimento exponencial em intervalos de tempo iguais para encontrar um valor “final” ou de “equilíbrio” é a base da técnica de datação por Carbono-14, usada em Arqueologia. Os arqueólogos medem a quantidade de Carbono-14 em um fóssil hoje (T(t)) e sabem a quantidade que ele tinha quando morreu (T₀). Conhecendo a meia-vida do Carbono-14 (o “intervalo de tempo” onde a quantidade cai pela metade), eles podem calcular há quanto tempo o organismo morreu. A equação que eles usam é essencialmente a mesma que usamos para encontrar a temperatura ambiente. A física que descreve uma caneca de café esfriando é a mesma que nos permite datar múmias egípcias.