Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo
D = k + tg[p(T + m)],
sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é:
A) D = 2,5 + tg[ 30( T – 5-2π/2) ]
B) D = 4 + tg[ 30( T + 5/2) ]
C) D = 4 + tg[ 2,5( T + 5+2π/2) ]
D) D = 30 + tg[ 1/2( T – 5) ]
E) D = 30 + tg[ 1/2( T – 5/2) ]
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Funções Trigonométricas (Função Tangente)
- Análise de Gráficos de Funções
- Transformações de Funções (Translação e Período)
- Tema/Objetivo Geral: Determinação dos parâmetros k, p e m de uma função tangente D(T) = k + tg[p(T + m)] a partir da análise de seu gráfico.
- Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe do Nível: A questão é difícil porque exige um conhecimento aprofundado das propriedades da função tangente e de como seus parâmetros afetam o gráfico (translação vertical, translação horizontal e período). A resolução completa envolve um raciocínio dedutivo complexo sobre as assíntotas e o ponto de inflexão.
- Gabarito: E) D = 30 + tg [½ (T – 5/2)].
- Explicação Resumida: A função correta deve ter um ponto de inflexão em (2.5, 30) e assíntotas que correspondem ao período da função. A única equação que satisfaz a passagem pelo ponto (2.5, 30) e que também corresponde ao período deduzido das assíntotas é a da alternativa E.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual das cinco equações matemáticas é a “impressão digital” exata do gráfico mostrado. Temos um “molde” da equação, D = k + tg[p(T + m)], e precisamos encontrar os valores corretos dos parâmetros k, p e m usando as pistas do gráfico.
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no gráfico como a cena de um crime e nas equações como cinco suspeitos. Nós temos o retrato falado do criminoso (a fórmula geral). Precisamos analisar as pistas da cena (pontos, assíntotas) para ver qual dos suspeitos se encaixa perfeitamente na descrição. Podemos fazer isso de duas formas:
- Reconhecimento Rápido: Pegar uma característica marcante do criminoso (um ponto-chave) e ver qual suspeito a possui.
- Construção do Perfil: Usar todas as pistas para construir um perfil detalhado do criminoso e depois procurar o suspeito que bate com o perfil.
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Seguiremos os dois caminhos para máxima certeza:
- A Abordagem Rápida (Reconhecimento): Usar o ponto mais óbvio do gráfico, (2.5, 30), para testar as alternativas e eliminar as que não se encaixam.
- A Abordagem Completa (Construção do Perfil): Deduzir os valores de k, p e m a partir das características do gráfico (ponto de inflexão e assíntotas) e montar a equação do zero.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para decifrar o código da função tangente, precisamos de um dossiê sobre seus parâmetros.
- Dossiê: A Anatomia da Função Tangente y = k + tg[p(x + m)]
- Parâmetro k (O Elevador):
- Função: Deslocamento vertical. Ele move o gráfico inteiro para cima (k>0) ou para baixo (k<0). O ponto de inflexão da tangente (que normalmente está em y=0) passa a estar em y=k.
- Parâmetro m (O Deslocador Lateral):
- Função: Deslocamento horizontal. Ele empurra o gráfico para a esquerda (m>0) ou para a direita (m<0). O ponto de inflexão (que normalmente está em x=0) passa a estar em x=-m.
- Parâmetro p (O Compressor do Período):
- Função: Altera o período da função. O período normal da tangente é π. O novo período é π / |p|.
- Pistas: O período é a distância entre duas assíntotas verticais consecutivas.
- Parâmetro k (O Elevador):
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Abordagem 1: O Teste Rápido pelo Ponto de Inflexão
O gráfico nos mostra claramente um ponto que parece ser o centro de simetria da curva: (T=2.5, D=30). Em uma função tangente, este é o ponto de inflexão. Se a equação estiver correta, ao substituirmos T=2.5, o resultado de D deve ser 30.
- Interrogando a Alternativa E: D = 30 + tg [½ (T – 5/2)]
- Vamos substituir T = 2.5 (que é o mesmo que 5/2):
- D = 30 + tg [½ (2.5 – 2.5)]
- D = 30 + tg [½ * 0]
- D = 30 + tg(0)
- Sabemos que tg(0) = 0.
- D = 30 + 0 = 30.
- Confere! A testemunha (o ponto) confirma o álibi do suspeito E. Uma rápida verificação das outras alternativas mostraria que elas não passam neste teste.
Abordagem 2: A Construção Completa do Perfil
Agora, vamos provar que a alternativa E é a correta construindo a equação do zero.
- Encontrando k e m (O Ponto de Inflexão):
- O ponto de inflexão do gráfico está em (2.5, 30).
- O parâmetro k define o deslocamento vertical, então k = 30.
- O deslocamento horizontal é T = -m. Como o ponto foi para T = 2.5, temos 2.5 = -m, o que significa m = -2.5 ou m = -5/2.
- A nossa função já tem o formato: D = 30 + tg[p(T – 5/2)].
- Encontrando p (O Período):
- O gráfico nos dá as duas assíntotas verticais consecutivas:
- Assíntota 1: T = (5 – 2π) / 2
- Assíntota 2: T = (5 + 2π) / 2
- O período é a distância entre elas:
- Período = Assíntota 2 – Assíntota 1
- Período = (5 + 2π) / 2 – (5 – 2π) / 2
- Período = (5 + 2π – 5 + 2π) / 2 = 4π / 2 = 2π.
- Agora, usamos a fórmula do período: Período = π / |p|.
- 2π = π / p
- p = π / 2π = 1/2.
- O gráfico nos dá as duas assíntotas verticais consecutivas:
- Montando a Equação Final:
- Juntando todas as peças: k=30, p=1/2, m=-5/2.
- D = k + tg[p(T + m)]
- D = 30 + tg[½ (T – 5/2)].
- A equação que construímos é idêntica à alternativa E. O caso está duplamente provado!
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A função deve ter k=30 e m=-5/2 para posicionar seu ponto de inflexão em (2.5, 30). Deve ter p=1/2 para que seu período seja 2π, correspondendo à distância entre as assíntotas dadas.
- Expectativa: A equação deve ser D = 30 + tg[½ (T – 5/2)].
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) e B)
- Diagnóstico do Erro: O valor de k (2.5 e 4 respectivamente) está incorreto. O deslocamento vertical da função é claramente 30. Além disso, o parâmetro p (30) está errado, geraria um período extremamente curto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C)
- Diagnóstico do Erro: k=4 está incorreto. p=2.5 está incorreto. A translação horizontal (+ 5+2π/2) também não corresponde à dedução.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D)
- A “Narrativa do Erro”: O aluno identifica corretamente o k=30, mas erra o deslocamento horizontal (m=-5). O teste do ponto (2.5, 30) falharia: tg[½(2.5-5)] = tg(-1.25), que não é zero.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Parâmetro (Deslocamento Horizontal Incorreto).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) D = 30 + tg [½ (T – 5/2)]
- Análise de Correspondência: Esta equação corresponde perfeitamente ao perfil que construímos e passou no teste de verificação. Todos os parâmetros (k, p, m) estão corretos.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta, provando que o gráfico de uma função é como uma “cena do crime” cheia de pistas que, quando interpretadas corretamente, revelam a identidade exata da função.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para achar a tangente, use o ponto de inflexão para mirar (k e m) e as assíntotas para medir o alcance (p).”
- Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A análise de funções a partir de seus gráficos para determinar parâmetros é fundamental em Engenharia de Sinais e Telecomunicações. Um sinal de rádio ou Wi-Fi é uma onda, muitas vezes modelada por funções senoidais, cossenos ou outras funções periódicas. Um engenheiro, ao analisar um sinal em um osciloscópio (que é basicamente um gráfico de voltagem por tempo), precisa identificar a amplitude (nosso k), a frequência (nosso p, que determina o período) e a fase (nosso m, o deslocamento lateral) do sinal para conseguir “sintonizar” o receptor corretamente e decodificar a informação. A lógica de extrair os parâmetros da função a partir de sua representação visual é exatamente a mesma.