Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
A) 10 ×9 ×8
B) 20 ×18 ×16
C) 20 ×19 ×18
D) 10 ×9 ×8 ×2
E) 20 ×18 ×16 ×2
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Análise Combinatória
- Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo)
- Tema/Objetivo Geral: Cálculo de arranjos com restrição, onde a escolha de um elemento exclui mais de um elemento do conjunto de possibilidades subsequentes.
- Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do Nível: A questão é de nível médio porque a restrição (“no máximo uma pessoa por casal”) a diferencia de um problema de arranjo simples. O candidato precisa interpretar corretamente como essa regra afeta o universo de escolhas a cada etapa, o que exige um raciocínio mais cuidadoso do que a mera aplicação de uma fórmula.
- Gabarito: B) 20 × 18 × 16.
- Explicação Resumida: A solução é encontrada preenchendo os cargos sequencialmente: há 20 opções para o primeiro cargo, 18 para o segundo (excluindo o primeiro escolhido e seu cônjuge) e 16 para o terceiro (excluindo os dois casais já representados).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir de quantas maneiras diferentes podemos formar uma diretoria de 3 pessoas (Presidente, Secretário, Tesoureiro) a partir de um grupo de 10 casais (20 pessoas), com uma regra de ouro: uma vez que alguém é escolhido, seu cônjuge também fica de fora da disputa.
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que você está escalando um time de 3 jogadores para 3 posições diferentes a partir de 10 pares de gêmeos idênticos. A regra é: para evitar confusão, se você escalar um dos gêmeos, o outro fica automaticamente no banco. O verdadeiro desafio aqui é contar as opções a cada escolha, lembrando que cada seleção remove duas pessoas do grupo de elegíveis, não apenas uma.
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o de um recrutador metódico:
- Preencher a Vaga de Presidente: Calcular o número de opções para o primeiro cargo.
- Aplicar a Regra e Preencher a Vaga de Secretário: Ajustar o universo de candidatos com base na primeira escolha e calcular as opções para o segundo cargo.
- Aplicar a Regra Novamente e Preencher a Vaga de Tesoureiro: Reajustar o universo e calcular as opções para o último cargo.
- Calcular o Total de Possibilidades: Usar o Princípio Fundamental da Contagem para encontrar o resultado final.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta perfeita para este caso é o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como Princípio Multiplicativo. Ele nos ensina a contar as possibilidades de eventos sequenciais. Vamos construir o raciocínio com um diálogo.
- Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠): Preenchendo a Diretoria
- 🕵️♂️ Mentor: “Vamos começar pelo cargo mais alto: Presidente. Quantas pessoas, no total, podem se candidatar a esta vaga?”
- 🧠 Aluno: “São 10 casais, então 20 pessoas. Qualquer uma delas pode ser presidente.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Perfeito! Temos 20 opções. Agora, digamos que a Ana foi eleita. Qual é a consequência imediata da nossa ‘regra do casal’?”
- 🧠 Aluno: “Se a Ana foi eleita, o marido dela, o Beto, não pode mais ter cargo. Então, os dois estão fora!”
- 🕵️♂️ Mentor: “Exato! Para a vaga de Secretário, quantas pessoas ainda estão na disputa?”
- 🧠 Aluno: “Tínhamos 20, mas a Ana e o Beto saíram. Então, 20 – 2 = 18 pessoas.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Brilhante! Temos 18 opções. Agora, a Carla foi eleita Secretária. Para a vaga de Tesoureiro, quem já está fora da disputa?”
- 🧠 Aluno: “O casal da Ana (2 pessoas) e o casal da Carla (2 pessoas). Um total de 4 pessoas já foram ‘usadas’ ou bloqueadas.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Então, partindo das 18 que podiam ser Secretário, quantas podem ser Tesoureiro?”
- 🧠 Aluno: “A Carla foi escolhida, e o marido dela, o Davi, foi bloqueado. Então saíram mais 2 pessoas. 18 – 2 = 16.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Precisamente! Temos 16 opções. E o que o PFC nos diz para fazer com esses números?”
- 🧠 Aluno: “Multiplicar tudo! 20 × 18 × 16.”
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos formalizar a execução do nosso plano.
- Escolha do Presidente:
- Universo de opções: 20 pessoas.
- Possibilidades: 20.
- Escolha do Secretário:
- Universo inicial: 20 pessoas.
- Pessoas excluídas pela 1ª escolha: 1 (o presidente) + 1 (seu cônjuge) = 2 pessoas.
- Universo de opções restantes: 20 – 2 = 18 pessoas.
- Possibilidades: 18.
- Escolha do Tesoureiro:
- Universo restante antes desta escolha: 18 pessoas.
- Pessoas excluídas pela 2ª escolha: 1 (o secretário) + 1 (seu cônjuge) = 2 pessoas.
- Universo de opções restantes: 18 – 2 = 16 pessoas.
- Possibilidades: 16.
- Cálculo Total:
- Pelo Princípio Multiplicativo, o total de diretorias é: 20 × 18 × 16.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é usar um cálculo de arranjo simples e fazer 20 × 19 × 18. Este seria o cálculo se qualquer pessoa pudesse ser escolhida, sem a restrição do casal. O erro é esquecer que ao escolher uma pessoa, você não elimina apenas 1, mas 2 candidatos do próximo sorteio, quebrando a sequência de números consecutivos.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O número de possibilidades para cada cargo é calculado sequencialmente, onde o universo de candidatos é reduzido de duas em duas pessoas a cada escolha. O total é o produto dessas possibilidades.
- Expectativa: A expressão correta deve ser o produto 20 × 18 × 16.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 10 × 9 × 8
- A “Narrativa do Erro”: O aluno pensa em termos de “casais” como unidades, não de pessoas. “Tenho 10 casais para o primeiro cargo, 9 para o segundo…”. Isso ignora que os cargos são individuais e que qualquer pessoa pode ser escolhida.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir o Objeto de Escolha (pessoas vs. casais).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) 20 × 18 × 16
- Análise de Correspondência: Esta expressão corresponde perfeitamente ao nosso raciocínio dedutivo, aplicando corretamente a restrição a cada etapa da escolha.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- C) 20 × 19 × 18
- A “Narrativa do Erro”: O aluno identifica o universo inicial de 20 pessoas, mas aplica um arranjo simples, ignorando a regra de exclusão do cônjuge. Ele cai na “Armadilha Clássica”.
- O “Diagnóstico do Erro”: Ignorar a Restrição do Casal.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) e E)
- A “Narrativa do Erro”: A presença de um ×2 no final não tem justificativa lógica dentro do Princípio Multiplicativo para este problema. Indica uma confusão no raciocínio, talvez tentando “compensar” por algo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Adição de Fator Injustificado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B) 20 × 18 × 16 é a correta, pois em análise combinatória, a chave não é apenas contar, mas entender como cada escolha restringe o universo de possibilidades futuras.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para o comitê sem casais, a regra é clara: escolha um, risque dois da lista.”
- Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de “seleção com exclusão pareada” é fundamental em Química e Ciência dos Materiais. Ao projetar uma liga metálica, por exemplo, a adição de um certo elemento (digamos, Carbono ao Ferro para fazer aço) pode impedir ou tornar indesejável a adição de outro elemento que reage negativamente com ele. Assim, ao escolher o “Presidente” (Carbono), você não apenas remove o Carbono das opções futuras, mas também remove seu “par incompatível” (outro elemento) do conjunto de possibilidades, alterando o universo de escolhas para o próximo “cargo” (o próximo componente da liga).