A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.
A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.
Considere 3,1 como valor aproximado para π
Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?
A) 288
B) 297
C) 567
D) 990
E) 1 134
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Área de Círculo e Quadrado), Geometria Espacial (Volume de Cilindro e Prisma), Relações Métricas no Círculo, Conversão de Unidades de Medida.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo do volume de um sólido complexo pelo método de subtração de volumes.
Nível da Questão
Médio – A questão é trabalhosa e exige uma sequência de passos bem definidos: conversão de unidades, cálculo de áreas a partir de relações geométricas (diagonal do quadrado), cálculo de dois volumes distintos, uma subtração e uma multiplicação final. Um erro em qualquer etapa compromete todo o resultado.
Gabarito
B) 297. Este é o volume total de ouro, obtido ao se calcular o volume de ouro de uma medalha (Volume do Cilindro – Volume do Prisma) e multiplicar o resultado por 100.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar o volume total de ouro, em cm³, necessário para fabricar 100 medalhas. O “ouro” corresponde à parte cilíndrica da medalha que sobra após a remoção de um prisma de base quadrada do seu centro.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que estamos fabricando 100 roscas de metal, mas com um “furo” quadrado em vez de redondo. Nossa tarefa é calcular o volume total da “massa” da rosca, ignorando o volume do furo.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): A estratégia correta é construir a solução em camadas, exatamente como a medalha:
- Padronizar Unidades: Converter todas as medidas para centímetros (cm).
- Calcular o Volume da Peça Bruta: Determinar o volume do cilindro completo.
- Calcular o Volume do Descarte: Determinar o volume do prisma quadrado a ser removido.
- Encontrar o Volume do Ouro (1 Medalha): Subtrair o volume do descarte do volume da peça bruta.
- Calcular o Volume Total: Multiplicar o resultado por 100.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Antes de pegarmos as ferramentas (fórmulas), vamos visualizar o nosso plano de ataque. A “fórmula geral” para resolver o problema é, na verdade, um processo de fabricação.
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(O Princípio da Subtração de Volumes). A imagem demonstra perfeitamente a nossa lógica:
- Partimos de um cilindro (a moeda).
- Removemos um prisma de base quadrada do centro (o “furo”).
- Obtemos o produto final (a parte externa da moeda)
Isso traduz nosso plano para uma “fórmula geral” visual: Volume do Ouro = Volume do Cilindro – Volume do Prisma. Agora, vamos reunir as ferramentas para calcular cada parte.
Dossiê do Geômetra
- Ferramenta 1: Volume do Cilindro (A Peça Bruta)
- Fórmula: V cilindro = Área da base × Altura
- Área da Base (Círculo): A círculo = π × r²
- Ferramenta 2: Volume do Prisma Quadrado (O Furo)
- Fórmula: V prisma = Área da base × Altura
- A Pista-Chave: A diagonal do quadrado (d) é igual ao diâmetro do círculo (6 cm).
- O Truque do Mestre (Área do Quadrado pela Diagonal): Área do quadrado = d² / 2
- Ferramenta 3: A Chave de Conversão
- 1 cm = 10 mm (essencial para a altura).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano, seguindo o processo que visualizamos.
- Padronizando as Unidades:
- Diâmetro do cilindro = 6 cm → Raio (r) = 3 cm.
- Altura (espessura) = 3 mm → Altura (h) = 0,3 cm.
- Diagonal do quadrado (d) = 6 cm.
- Calculando o Volume do Cilindro (Peça Bruta):
- Área da base circular: A círculo = π × r² = 3,1 × (3)² = 27,9 cm².
- Volume: V cilindro = 27,9 × 0,3 = 8,37 cm³.
- Calculando o Volume do Prisma (Descarte):
- Área da base quadrada: A quadrado = d² / 2 = (6)² / 2 = 18 cm².
- Volume: V prisma = 18 × 0,3 = 5,4 cm³.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é a conversão de unidades. Muitos candidatos, na pressa, usam a altura como 3 cm em vez de 0,3 cm. Isso aumenta todos os volumes em 10 vezes e leva a uma resposta completamente diferente, que pode estar disfarçada em uma das alternativas erradas. Atenção redobrada na padronização inicial!
- Encontrando o Volume de Ouro de UMA Medalha:
- Agora, executamos a subtração que visualizamos na imagem:
- V ouro = V cilindro – V prisma = 8,37 – 5,4 = 2,97 cm³.
- Calculando o Volume Total para 100 Medalhas:
- V total = V ouro × 100 = 2,97 × 100 = 297 cm³.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O volume total de ouro é 100 vezes a diferença entre o volume de um cilindro (com r=3 cm e h=0,3 cm) e o volume de um prisma de base quadrada (com diagonal=6 cm e h=0,3 cm).
- Expectativa: A resposta final deve ser exatamente 297.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 288
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 297
- Análise de Correspondência: Este valor bate perfeitamente com a nossa Expectativa.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 567
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Procedimento.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 990
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Conceitual (Soma em vez de Subtração).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1 134
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Procedimento.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é B) 297 cm³, uma resposta que só é alcançada pela aplicação disciplinada do princípio da subtração de volumes, magnificamente ilustrado no início de nossa análise.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O volume da borda é sempre o volume do “todo” menos o volume do “buraco”.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio é a base da Engenharia Mecânica e Civil. Ao projetar um cano de concreto, um engenheiro calcula o volume de concreto necessário exatamente da mesma forma: ele calcula o volume do cilindro externo e subtrai o volume do cilindro interno (o “buraco” por onde a água passará). Ao projetar o chassi de um carro para ser leve e forte, engenheiros criam peças com “alívios” de material (furos e recortes), e o cálculo da massa da peça final sempre envolve subtrair o volume do material removido do volume da peça bruta. A medalha é um microcosmo de um princípio de design e fabricação universal.