Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade, Análise Combinatória, Estratégia do Complemento.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo da probabilidade de vitória em um jogo com regras assimétricas e eventos compostos.
Nível da Questão
Difícil – Esta questão é complexa porque não envolve uma aplicação direta de fórmula. Exige uma estratégia de resolução (o uso do complementar é o mais indicado), uma análise sistemática de casos e uma contagem cuidadosa para evitar erros. A chance de se perder no raciocínio ao tentar calcular a probabilidade direta de Artur é muito alta.
Gabarito
E) Artur, com probabilidade de 125/216. A análise mostra que, do total de 216 resultados possíveis, Artur vence em 125 deles, tendo uma probabilidade de vitória superior a 50%.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é calcular a probabilidade de vitória de cada jogador e determinar quem tem a maior chance de ganhar.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisto como um duelo. João tem uma única “bala” de alto calibre (seu único dado). Artur tem duas “balas” de calibre menor (seus dois dados), mas ele só precisa que a mais forte das duas supere a de João. A regra do empate favorece João, dando-lhe uma “defesa” extra. Precisamos descobrir qual conjunto de regras é matematicamente mais vantajoso.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Tentar contar diretamente as vitórias de Artur é um labirinto. Ele ganha se tirar (6,1) e João tirar de 1 a 5; ou se tirar (5,2) e João tirar de 1 a 4, e assim por diante. É muito complexo. Um detetive experiente inverte o problema. Nosso plano será:
- Mapear o Universo: Calcular o número total de resultados possíveis ao lançar os três dados.
- Investigar o Caso Mais Simples: Calcular o número de maneiras que João pode vencer. A condição de vitória dele (Número de João ≥ Maior número de Artur) é muito mais restrita e fácil de contar.
- Usar a Lógica do Complemento: O número de vitórias de Artur será o total de resultados menos o número de vitórias de João.
- Calcular as Probabilidades: Com o número de vitórias de cada um, calculamos a probabilidade final e declaramos o vencedor.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A principal ferramenta para este caso é uma das mais poderosas da probabilidade: a Estratégia do Complemento. Vamos explorá-la em um diálogo.
Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠)
- 🕵️♂️ Mentor: A cena do crime (vitórias de Artur) é muito confusa. São centenas de pequenas pistas que podem nos levar ao erro.
- 🧠 Aluno: Então, como começamos?
- 🕵️♂️ Mentor: Nós não investigamos a vitória de Artur. Nós investigamos o oposto: a vitória de João. Pense nisso: em qualquer resultado, ou Artur vence, ou João vence. Não há outra possibilidade.
- 🧠 Aluno: Certo. A vitória de João é o “evento complementar” à vitória de Artur.
- 🕵️♂️ Mentor: Exatamente! A condição para João ganhar é Dado de João ≥ Dado 1 de Artur E Dado de João ≥ Dado 2 de Artur. É uma condição muito mais organizada. Se descobrirmos de quantas formas João ganha, o resto das formas, obrigatoriamente, são as vitórias de Artur.
- 🧠 Aluno: Então a fórmula é: Vitórias de Artur = Total de Resultados – Vitórias de João.
- 🕵️♂️ Mentor: Perfeito. Em matemática, P(A) = 1 – P(não A). Essa é a nossa chave-mestra.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano de ataque invertido.
- Mapeando o Universo:
- Temos 3 dados, cada um com 6 faces.
- Total de resultados = 6 (dado 1) × 6 (dado 2) × 6 (dado 3) = 216 resultados possíveis.
- Investigando a Vitória de João:
Vamos analisar caso a caso, dependendo do resultado do dado de João (vamos chamar de J).- Caso 1: João tira 1 (J=1). Para ele ganhar, os dois dados de Artur devem ser ≤ 1. A única possibilidade para Artur é (1, 1).
- Número de vitórias de João: 1 caso.
- Caso 2: João tira 2 (J=2). Os dados de Artur devem ser ≤ 2. As possibilidades para cada dado são {1, 2}.
- Combinações para Artur: 2 (dado A1) × 2 (dado A2) = 4 casos.
- Caso 3: João tira 3 (J=3). Os dados de Artur devem ser ≤ 3. As possibilidades são {1, 2, 3}.
- Combinações para Artur: 3 × 3 = 9 casos.
- Caso 4: João tira 4 (J=4). Os dados de Artur devem ser ≤ 4.
- Combinações para Artur: 4 × 4 = 16 casos.
- Caso 5: João tira 5 (J=5). Os dados de Artur devem ser ≤ 5.
- Combinações para Artur: 5 × 5 = 25 casos.
- Caso 6: João tira 6 (J=6). Os dados de Artur podem ser qualquer valor ≤ 6.
- Combinações para Artur: 6 × 6 = 36 casos.
- Total de Vitórias de João: Somamos todos os casos: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 resultados favoráveis a João.
- Caso 1: João tira 1 (J=1). Para ele ganhar, os dois dados de Artur devem ser ≤ 1. A única possibilidade para Artur é (1, 1).
- Usando a Lógica do Complemento (Revelando as Vitórias de Artur):
- Vitórias de Artur = Total de Resultados – Vitórias de João
- Vitórias de Artur = 216 – 91 = 125 resultados favoráveis a Artur.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A regra do empate é a armadilha mais sutil. O enunciado diz: “Em caso de empate, a vitória é de João”. Nossa contagem sistemática para a vitória de João já incluiu todos os empates (por exemplo, quando João tira 4 e o maior dado de Artur também é 4), por isso a estratégia do complemento funciona perfeitamente. Tentar calcular sem ela e esquecer do empate levaria a um resultado incorreto.
- Calculando as Probabilidades:
- Probabilidade de João vencer = 91 / 216
- Probabilidade de Artur vencer = 125 / 216
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O número de vitórias de Artur foi encontrado calculando-se o evento complementar (as vitórias de João) e subtraindo-o do universo total de 216 resultados.
- Expectativa: Artur tem a maior probabilidade de vitória, com um valor de 125/216.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) Artur, com probabilidade de 2/3
- A “Narrativa do Erro”: Uma aproximação intuitiva. 2/3 ≈ 0,66. Nossa resposta, 125/216 ≈ 0,58. É uma estimativa, não o cálculo exato.
- O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) João, com probabilidade de 4/9
- A “Narrativa do Erro”: Declara o vencedor errado e com a probabilidade errada. 4/9 = 96/216.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Conclusão e Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) Artur, com probabilidade de 91/216
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calcula corretamente a probabilidade de João vencer, mas a atribui a Artur.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Lógica – Atribuir o resultado do evento complementar ao evento principal.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) João, com probabilidade de 91/216
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calcula corretamente a probabilidade de João vencer, mas conclui que ele é o mais provável vencedor, o que é falso (91 < 125).
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Conclusão – Não comparar as probabilidades antes de decidir o vencedor.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) Artur, com probabilidade de 125/216
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao resultado da nossa investigação. Artur é o vencedor mais provável, e esta é sua probabilidade exata.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é a E), provando que Artur tem a maior probabilidade de vitória (125/216) e que a melhor maneira de resolver um problema complexo é, às vezes, resolver sua versão mais simples e invertida.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para encontrar o número de agulhas (vitórias de Artur), conte os palitos (vitórias de João) e jogue o resto do palheiro fora.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Este mesmo princípio da Estratégia do Complemento é fundamental em Engenharia de Confiabilidade. Para calcular a probabilidade de um sistema complexo (como um avião com milhares de componentes) funcionar perfeitamente durante um voo, é matematicamente mais viável calcular a probabilidade de falha de cada componente e, a partir daí, calcular a probabilidade de pelo menos uma falha ocorrer no sistema. A probabilidade de o sistema funcionar (P(Sucesso)) é então 1 – P(Falha). O raciocínio é idêntico: atacar o problema pela sua via mais simples e organizada.