Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.
O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:
- o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
- o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
- o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
- o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.
Ao final da rodada n, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?
A) 103 + 4n
B) 103 + 3n
C) 100 + 4n
D) 100 + 3n
E) 99 + 4n
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Funções de Primeiro Grau, Progressão Aritmética, Interpretação de Problemas.
Tema/Objetivo Geral
Modelagem matemática de uma situação-problema com variação linear para encontrar uma expressão algébrica.
Nível da Questão
Médio – A questão exige que o candidato traduza as regras de um jogo em um modelo matemático. A dificuldade não está nos cálculos, que são simples, mas na capacidade de abstrair o “saldo por rodada” como uma taxa de variação constante e identificar o valor inicial para montar a função corretamente.
Gabarito
D) 100 + 3n. Esta expressão representa o estado inicial de 100 moedas somado ao ganho líquido de 3 moedas multiplicado pelo número de rodadas (n).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é criar uma fórmula que nos permita prever quantas moedas o jogador na posição 1 terá após qualquer número (n) de rodadas.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense na quantidade de moedas do Jogador 1 como o saldo de uma conta bancária. Ele começa com um depósito inicial. A cada “mês” (rodada), há um crédito fixo (moedas que ele recebe) e um débito fixo (moedas que ele transfere). Precisamos encontrar a fórmula do saldo final após n meses.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Focar no Alvo: A questão pergunta apenas sobre o Jogador 1. Devemos ignorar a contabilidade dos outros jogadores e nos concentrar apenas nas transações que afetam o Jogador 1.
- Calcular o “Lucro” por Rodada: Determinar o saldo líquido (ganhos menos perdas) do Jogador 1 em uma única rodada.
- Identificar o Ponto de Partida: Anotar com quantas moedas o Jogador 1 começa o jogo (antes da primeira rodada).
- Montar a Fórmula: Combinar o ponto de partida e o lucro por rodada para construir a expressão algébrica final.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A situação descrita é um exemplo clássico de crescimento linear. A ferramenta perfeita para modelar isso é a Função de Primeiro Grau. Vamos criar um dossiê sobre ela.
Dossiê da Função Linear: C(n) = a * n + b
- C(n) (Variável Dependente): A quantidade que queremos descobrir. Em nosso caso, o C número de moedas após n rodadas.
- b (Coeficiente Linear / Valor Inicial): É o ponto de partida. Representa o valor de C quando n=0 (antes do início do jogo). É a base da nossa operação.
- n (Variável Independente): O fator que muda a cada etapa. Em nosso caso, o número de rodadas.
- a (Coeficiente Angular / Taxa de Variação): É o coração do problema. Representa a mudança constante que ocorre em C a cada vez que n aumenta em uma unidade. Em nosso caso, é o “saldo” ou o “lucro/prejuízo” de moedas a cada rodada.
Com este modelo em mente, nossa missão se resume a encontrar os valores de a e b para o Jogador 1.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, encontrando a e b.
- Identificando o Ponto de Partida (b):
- O enunciado diz: “Quatro amigos, cada um com 100 moedas…”.Este é o valor inicial, antes de qualquer rodada (n=0).Portanto, b = 100. Com essa informação, já eliminamos as alternativas A, B e E. Restam apenas C e D. A investigação agora se foca em encontrar a taxa de variação correta.
- Calculando o “Lucro” por Rodada (a):
- Entradas (Crédito): O que o Jogador 1 GANHA por rodada? A regra diz: “…o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1”. Ganho = +4 moedas.
- Saídas (Débito): O que o Jogador 1 PERDE por rodada? A regra diz: “…o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2”. Perda = -1 moeda.
- Saldo da Rodada: Saldo = Ganhos – Perdas = 4 – 1 = +3.
- O Jogador 1 tem um lucro líquido de 3 moedas a cada rodada. Esta é a nossa taxa de variação.
- Portanto, a = 3.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é focar em apenas uma das transações. Um candidato apressado pode ver que o Jogador 4 dá 4 moedas e concluir que a taxa de variação é 4, caindo diretamente na alternativa C. É fundamental calcular o saldo líquido (o que entra MENOS o que sai) para encontrar a verdadeira taxa de variação.
- Montando a Fórmula Final:
- Agora, substituímos a=3 e b=100 em nosso modelo C(n) = an + b.
- C(n) = 3n + 100.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O número de moedas do Jogador 1 é uma função linear que parte de 100 e aumenta 3 unidades a cada rodada n.
- Expectativa: A expressão correta deve ser 100 + 3n ou 3n + 100.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 103 + 4n
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Duplo – Ponto de partida e taxa de variação incorretos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 103 + 3n
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro no Ponto de Partida – O candidato calcula a taxa de variação a=3 corretamente, mas erra o valor inicial b. (103 seria a quantidade de moedas após a 1ª rodada).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 100 + 4n
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na Taxa de Variação – O candidato identifica o ponto de partida b=100 corretamente, mas cai na armadilha de usar apenas o ganho (+4) como taxa, ignorando a perda.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 100 + 3n
- Análise de Correspondência: Esta alternativa corresponde perfeitamente à nossa Bússola. O ponto de partida é 100 e a taxa de variação (saldo líquido) é 3.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 99 + 4n
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Duplo – Ponto de partida e taxa de variação incorretos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é D) 100 + 3n, uma conclusão alcançada ao modelar o jogo como uma função linear, identificando seu estado inicial e sua taxa de variação constante.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Saldo final = Saldo inicial + (lucro por rodada × número de rodadas).
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo raciocínio matemático é a base da Física, na Cinemática. A equação da posição no Movimento Retilíneo Uniforme é S = S₀ + v x t, onde:
- S é a posição final (nossas moedas finais).
- S₀ é a posição inicial (nossas 100 moedas iniciais).
- v é a velocidade constante (nosso ganho constante de 3 moedas/rodada).
- t é o tempo (nosso número de rodadas n).
A fórmula que descreve este jogo de moedas é estruturalmente idêntica à que descreve o movimento de um carro em uma estrada a velocidade constante. A matemática revela padrões universais nos lugares mais inesperados.