Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.
A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
A) 4
B) 12
C) 16
D) 18
E) 20
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana, Relações entre Figuras (Círculo e Quadrado), Análise de Restrições.
Tema/Objetivo Geral
Determinação da dimensão mínima de um recipiente (prisma de base quadrada) para acomodar um objeto (cilindro) de tamanho variável, respeitando folgas especificadas.
Nível da Questão
Médio – A questão exige a capacidade de visualizar a geometria do problema, identificar o “pior caso” (a maior torta), traduzir as “folgas” em aumentos de dimensão e realizar uma comparação final. Não há cálculos complexos, mas a interpretação espacial é a chave.
Gabarito
E) 20. A nova caixa precisa ter uma aresta da base de, no mínimo, 34 cm. Como a caixa original tem 14 cm, o aumento necessário é de 20 cm.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual o aumento mínimo necessário no lado da base da caixa de embalagem para que ela consiga acomodar a maior torta produzida, mantendo as folgas de segurança.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que você tem uma garagem quadrada de 14m x 14m e precisa estacionar carros. Seus carros têm diâmetros que variam. Para projetar uma nova garagem que sirva para o maior carro possível, você precisa pegar o diâmetro do “carro-limusine” (a maior torta), adicionar 1 metro de folga de cada lado para as pessoas poderem sair (as folgas da embalagem) e, então, calcular o quanto você precisa aumentar o lado da garagem atual.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Identificar o Pior Cenário: Determinar as dimensões da maior torta que o confeiteiro produz.
- Verificar a Altura: Checar se a altura da caixa já satisfaz a condição de folga.
- Calcular a Base Necessária: Determinar o tamanho mínimo do lado da base da nova caixa, incluindo as folgas laterais.
- Calcular o Aumento: Subtrair o lado da caixa antiga do lado da caixa nova para encontrar a diferença.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta mais importante aqui é a tradução das regras do enunciado em uma fórmula lógica para a dimensão da base da caixa.
Ficha Técnica do Desafio de Embalagem
- O Objeto (Torta Cilíndrica):
- Altura (h): 6 cm
- Raio da Base (r): varia de 12 cm a 16 cm.
- A Embalagem (Prisma de Base Quadrada):
- Altura da Caixa (H_orig): 7 cm
- Lado da Base da Caixa (L_orig): 14 cm
- As Regras (Folgas Mínimas):
- Folga Lateral: Pelo menos 1 cm de cada lado da torta.
Construindo a Fórmula da Base:
Imagine a vista de cima: um círculo (torta) dentro de um quadrado (caixa). O lado do quadrado deve ser grande o suficiente para conter o diâmetro inteiro do círculo e mais um espaço de 1 cm antes e 1 cm depois.
Isso nos dá a fórmula:
Lado da Caixa = 1 cm (folga) + Diâmetro da Torta + 1 cm (folga)
Lado da Caixa = Diâmetro da Torta + 2 cm
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano de ataque com base na fórmula que construímos.
- Identificando o Pior Cenário (A Maior Torta):
- A caixa deve servir para todas as tortas, então projetamos para a maior.
- Raio máximo: r_max = 16 cm.
- Diâmetro máximo: d_max = 2 × 16 = 32 cm.
- Verificando a Altura:
- Altura da torta = 6 cm. Altura da caixa = 7 cm.
- Folga superior = 7 – 6 = 1 cm. A condição de altura já está resolvida. O foco é a base.
- Calculando a Base Necessária (L_novo):
- Usando nossa fórmula com o diâmetro da maior torta:
- L_novo = 32 cm + 2 cm = 34 cm.
- Este é o tamanho mínimo do lado da base da nova caixa.
- Calculando o Aumento Necessário:
- Aumento = L_novo – L_orig
- Aumento = 34 cm – 14 cm = 20 cm.
Agora que chegamos à conclusão por meio do raciocínio, vamos usar a imagem para “amarrar” e visualizar tudo o que fizemos. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(O Mapa da Solução: Torta, Folgas e Caixa)
Este esboço é a confirmação visual perfeita do nosso cálculo. Ele mostra claramente como o diâmetro máximo da torta (32 cm), somado às duas folgas laterais de 1 cm, resulta na dimensão mínima necessária de 34 cm para a base da nova caixa.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha é esquecer uma das folgas. O candidato calcula o diâmetro máximo (32 cm), adiciona apenas 1 cm e chega a 33 cm. Pode acontecer também do aluno simplesmente esquecer das sobras e calcular com o próprio 32, ou ainda somar 4 ao invés de 2. O esboço acima age como um escudo perfeito contra esse tipo de erro, pois ele nos força a lembrar visualmente que o espaço de 1 cm é necessário em ambos os lados da torta.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O aumento da aresta da base é a diferença entre a dimensão mínima da nova caixa (ditada pelo diâmetro da maior torta mais 2 cm de folga) e a dimensão da caixa original.
- Expectativa: A resposta deve ser exatamente 20 cm.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 4
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Raio com Diâmetro.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 12
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de cálculo sem uma lógica clara.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 16
- O “Diagnóstico do Erro”: Omissão das Folgas ou Confusão Conceitual.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 18
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Raio com Diâmetro e usar o resultado como resposta final, ou calcular o lado novo como 32 cm e o aumento como 18 cm.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 20
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao nosso cálculo, que foi brilhantemente confirmado e visualizado pelo esboço.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é E) 20 cm, uma resposta que depende da identificação do cenário mais restritivo e da correta aplicação das margens de segurança.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O desenho diz tudo: projete para o maior, some as folgas, e a diferença é o que falta.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de “projetar para o pior caso com margem de segurança” é a base da Engenharia Civil. Ao projetar uma ponte, os engenheiros não a calculam para suportar o peso médio dos carros. Eles calculam para o “pior cenário”: um congestionamento com os caminhões mais pesados permitidos por lei. Em seguida, aplicam um “fator de segurança” (a nossa “folga”), multiplicando essa carga máxima por um valor (ex: 1.5 ou 2) para garantir que a estrutura resista a eventos imprevistos. A lógica de projetar a caixa da torta é um microcosmo do processo de garantir a segurança de grandes estruturas.