Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².
C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².
D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².
E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Área de Semicírculo), Interpretação de Figuras.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo e comparação de áreas de seções transversais para tomada de decisão em um projeto de engenharia.
Nível da Questão
Médio – A questão não utiliza fórmulas complexas, mas sua dificuldade reside na necessidade de executar múltiplos passos de forma organizada: interpretar corretamente os diâmetros de três semicírculos a partir do diagrama, aplicar a fórmula da área corretamente, somar os resultados para um dos projetos e, finalmente, comparar os totais para tomar a decisão correta.
Gabarito
A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m². Esta alternativa está correta porque a soma das áreas dos dois túneis do Projeto 1 (67,5 m²) é menor que a área do túnel único do Projeto 2 (121,5 m²).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é calcular a área total da “boca” (seção transversal) de cada projeto de túnel e escolher o projeto que tiver a menor área, pois isso significa cavar menos rocha.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você vai cortar duas fatias de uma melancia para uma festa. Você tem duas opções: cortar duas fatias menores separadas (Projeto 1) ou cortar uma única fatia gigante (Projeto 2). Para economizar melancia (ou seja, cavar menos rocha), precisamos calcular a área de cada opção e ver qual delas é a menor.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Encontrar a Ferramenta Certa: Identificar a fórmula para a área de um semicírculo.
- Investigar o Projeto 1: Calcular a área de cada um dos dois túneis e somá-las.
- Investigar o Projeto 2: Calcular a área do túnel único.
- Dar o Veredito: Comparar as duas áreas totais e escolher a menor.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta essencial para este caso é a fórmula da área de um semicírculo. Vamos detalhá-la em um dossiê.
Dossiê: Decifrando o Semicírculo
- Forma: É exatamente metade de um círculo.
- Fórmula da Área: Para encontrar sua área, calculamos a área do círculo completo e dividimos por 2.
- Área do Círculo Completo: A = π × r²
- Fórmula do Semicírculo: A = (π × r²) / 2
- A Pista Crucial: A imagem nos fornece o diâmetro (a largura total do túnel). A fórmula, no entanto, usa o raio (r). A relação é simples: Raio = Diâmetro / 2.
- Valor de π: O enunciado nos dá uma ordem clara: use π = 3.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, analisando cada projeto separadamente.
Investigação do Projeto 1:
- Túnel para Automóveis:
- Diâmetro = 12 m → Raio (r) = 6 m.
- Área = (3 × 6²) / 2 = (3 × 36) / 2 = 108 / 2 = 54 m².
- Túnel para Bicicletas:
- Diâmetro = 6 m → Raio (r) = 3 m.
- Área = (3 × 3²) / 2 = (3 × 9) / 2 = 27 / 2 = 13,5 m².
- Área Total do Projeto 1:
- Área Total = Área dos Automóveis + Área das Bicicletas
- Área Total = 54 m² + 13,5 m² = 67,5 m².
Investigação do Projeto 2:
- Túnel de Uso Misto:
- Diâmetro Total = 3 m + 6 m + 6 m + 3 m = 18 m.
- Raio (r) = 18 m / 2 = 9 m.
- Área = (3 × 9²) / 2 = (3 × 81) / 2 = 243 / 2 = 121,5 m².
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é usar o diâmetro diretamente na fórmula em vez do raio. Se um candidato fizesse isso para o Projeto 2, calcularia (3 * 18²) / 2, um erro que levaria a um resultado gigantesco. Outra armadilha é esquecer de dividir por 2, calculando a área do círculo inteiro em vez do semicírculo.
Veredito da Investigação:
- Área do Projeto 1 = 67,5 m²
- Área do Projeto 2 = 121,5 m²
- O projeto com a menor área é o Projeto 1.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O projeto a ser aprovado é o 1, pois a soma das suas áreas de seção transversal (67,5 m²) é menor que a área da seção do projeto 2 (121,5 m²).
- Expectativa: A alternativa correta deve indicar o Projeto 1 e sua área correta de 67,5 m².
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
- Análise de Correspondência: Esta alternativa corresponde perfeitamente à nossa Bússola. Aponta o projeto correto e a área exata que calculamos.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou corretamente a área do Projeto 2, mas não seguiu o critério de escolha, que era a menor área.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Critério – Falha em aplicar a condição de minimização.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².
- A “Narrativa do Erro”: O candidato escolheu o projeto certo, mas errou o cálculo da área. O valor de 135 m² é exatamente o dobro da área correta (67,5 × 2).
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo – Provavelmente esqueceu de dividir as áreas por 2 (calculou a área dos círculos completos).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².
- A “Narrativa do Erro”: O candidato escolheu o projeto errado e errou o cálculo da área. O valor 243 m² é a área do círculo completo do Projeto 2.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Critério e Erro de Cálculo (esqueceu de dividir por 2).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato não fez os cálculos ou errou gravemente, assumindo que as áreas eram iguais.
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta com os Cálculos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é a A), uma decisão baseada no cálculo direto que mostra que a área combinada de dois semicírculos menores é mais eficiente do que a de um único semicírculo grande de diâmetro equivalente à soma dos outros.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Na geometria, a soma das partes não é igual ao todo; (Área de r=6) + (Área de r=3) é bem diferente da Área de r=9.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A relação quadrática da área com o raio (A ∝ r²) tem consequências surpreendentes. Pense em Engenharia de Materiais. Por que um cabo de aço é feito de vários fios finos trançados em vez de uma única barra grossa? Embora a área da seção transversal possa ser a mesma, a soma das superfícies dos fios finos é muito maior. Isso distribui a tensão de forma mais eficaz e confere flexibilidade, tornando o cabo mais resistente a fraturas do que uma barra maciça. O princípio de que “a soma das propriedades das partes não é igual à propriedade do todo” é fundamental em ciência e engenharia.