Cada número que identifica uma agência bancária tem quatro dígitos: N1, N2, N3, N4 mais um dígito verificador N5.
Todos esses dígitos são números naturais pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Para a determinação de N5, primeiramente multiplica-se ordenadamente os quatro primeiros dígitos do número da agência por 5, 4, 3 e 2, respectivamente, somam-se os resultados e obtém-se S = 5N1 + 4N2 + 3N3 + 2N4 . Posteriormente, encontra-se o resto da divisão de S por 11, denotando por R esse resto. Dessa forma, N5 é a diferença 11 − R.
Considere o número de uma agência bancária cujos quatro primeiros dígitos são 0100.
Qual é o dígito verificador N5 dessa agência bancária?
A) 0
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Básica (Aritmética: Operações Fundamentais, Divisão Euclidiana e Resto).
Tema/Objetivo Geral
Executar um algoritmo sequencial simples (uma receita de bolo matemática) para validar um código numérico.
Nível da Questão
- Fácil: A questão fornece a fórmula pronta e os números são muito baixos (0 e 1), facilitando drasticamente as contas. O único obstáculo é o conceito de resto na divisão de um número menor por um maior.
Gabarito
- Alternativa (C): O resultado da aplicação da fórmula gera o dígito 7.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão fornece uma “receita” matemática para descobrir o último número (dígito verificador) de uma conta bancária. Ela te dá os ingredientes (os quatro primeiros números: 0, 1, 0, 0) e pede que você siga o passo a passo para encontrar o resultado final.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você é um computador processando um código de barras.
O sistema diz: “Pegue os quatro números da agência. Multiplique cada um pelo seu peso específico. Some tudo. Veja quanto sobra dessa soma se dividirmos por 11. Subtraia essa sobra de 11. Esse é o seu número.”
Não há interpretação complexa, apenas obediência às regras de cálculo.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar os Dígitos: Mapear quem é N1, N2, N3 e N4 com base no número da agência 0100.
- Calcular a Soma (S): Aplicar a fórmula de multiplicação e soma dada no texto.
- Calcular o Resto (R): Dividir a soma por 11 e pegar a sobra.
- Calcular o Dígito (N5): Fazer a subtração final.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta missão, precisamos apenas de aritmética básica, mas com atenção especial à divisão de números inteiros (Divisão Euclidiana).
Ferramenta 1: A Soma Ponderada
A fórmula é: S = (5 vezes N1) + (4 vezes N2) + (3 vezes N3) + (2 vezes N4).
Isso significa que o primeiro dígito vale mais (peso 5) e o último vale menos (peso 2).
Ferramenta 2: O Resto da Divisão (O Ponto Crítico)
A parte mais perigosa para o aluno desatento é dividir um número pequeno por um número grande.
Exemplo: Quanto é o resto da divisão de 4 por 11?
Muitos tentam colocar vírgula e zero (0, …). Não faça isso. Estamos trabalhando com números inteiros (naturais).
- Se eu tenho 4 balas para dividir para 11 pessoas, cada pessoa recebe 0 balas.
- Quantas balas sobram na minha mão? Sobram as 4.
- Logo, o Resto de 4 dividido por 11 é 4.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos processar o algoritmo com os dados da questão.
Fase 1: Identificação dos Dados
Número da agência: 0100.
- N1 = 0
- N2 = 1
- N3 = 0
- N4 = 0
Fase 2: Cálculo da Soma (S)
Substituindo na fórmula fornecida:
S = (5 vezes 0) + (4 vezes 1) + (3 vezes 0) + (2 vezes 0)
S = 0 + 4 + 0 + 0
S = 4.
Fase 3: Cálculo do Resto (R)
Precisamos do resto da divisão de S por 11.
Divisão: 4 dividido por 11.
- Quociente = 0 (o 11 cabe zero vezes no 4).
- Resto = 4.
Logo, R = 4.
Fase 4: O Dígito Final (N5)
A fórmula final diz: N5 é a diferença 11 menos R.
N5 = 11 – 4
N5 = 7.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é na Fase 3. O aluno chega em S = 4, tenta dividir por 11 e se confunde, achando que o resto é zero ou tentando fazer conta com vírgula. Lembre-se: em divisões inteiras, se o dividendo (4) é menor que o divisor (11), o resto é o próprio dividendo (4).
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Multiplicamos os dígitos pelos pesos, resultando em 4. O resto da divisão de 4 por 11 é 4. Subtraímos 4 de 11 e obtivemos 7.
Expectativa: O dígito verificador deve ser 7.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 0
Diagnóstico do Erro: Erro de Divisão.
O aluno pode ter achado que 4 dividido por 11 dá resto 0, ou confundiu a posição dos zeros no número da agência.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 6
Diagnóstico do Erro: Erro de Aritmética.
Provavelmente um erro na subtração final (10 – 4 em vez de 11 – 4) ou na soma ponderada inicial.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 7
Análise de Correspondência:
Perfeita. Seguiu rigorosamente o algoritmo: Soma ponderada resultou em 4. Resto da divisão por 11 foi 4. Subtração 11 – 4 resultou em 7.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 8
Diagnóstico do Erro: Erro de Multiplicação.
Pode ocorrer se o aluno trocar os pesos (multiplicar o dígito 1 pelo peso 3 ou 5 em vez de 4).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 9
Diagnóstico do Erro: Erro de Conceito.
Pode surgir se o aluno calcular o resto de 11 dividido por 4 (que seria 3) e subtrair de 11, ou outra manipulação algébrica indevida.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 7. O dígito verificador garante que o número da agência foi digitado corretamente.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Siga a receita: Multiplica, Soma, Divide e Subtrai. 4 dividido por 11 sobra 4. 11 menos 4 dá 7.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este é exatamente o princípio de funcionamento do CPF e do CNPJ. Os dois últimos dígitos do seu CPF são calculados assim (Algoritmo Módulo 11). O computador faz essa conta instantaneamente toda vez que você preenche um cadastro online. Se a conta não bater, o site diz “CPF Inválido” antes mesmo de consultar o banco de dados.