Questão 178 caderno amarelo ENEM 2025 Dia 2

Um carro que custa 60 mil reais é comercializado por uma revendedora que oferece duas opções de pagamento, todas sem entrada e sem juros:

opção 1: pagamento em n parcelas iguais;
opção 2: o pagamento é feito em 6 parcelas a mais do que na opção 1 e, por isso, o valor de cada parcela fica R$ 500,00 menor do que o valor da parcela na opção 1.

Nas duas opções de pagamento, o valor total a ser pago pelo carro é o mesmo.

Qual é a quantidade n de parcelas contidas na opção 1 de pagamento?

A) 18

B) 24

C) 30

D) 42

E) 48

NOTA DE ESCLARECIMENTO

Informamos que esta questão foi oficialmente anulada pelo INEP devido ao vazamento de algumas questões nas fases de teste da prova. No entanto, o conteúdo acadêmico e o raciocínio exigido pela questão estão teoricamente corretos e são pertinentes à matriz de referência do exame.

Dessa forma, apresentamos a resolução detalhada a seguir para fins didáticos e de aprofundamento dos seus estudos.

Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Interpretação de Problemas, Sistemas de Equações, Equação do Segundo Grau, Álgebra.

Tema/Objetivo Geral

Modelagem matemática de um problema financeiro e resolução de uma equação quadrática resultante.

Nível da Questão

Médio para Difícil – A dificuldade não reside na complexidade dos conceitos, mas na tradução do enunciado para um sistema de equações e, principalmente, na manipulação algébrica necessária para resolver a equação de segundo grau que emerge do sistema, um processo longo e suscetível a erros em um ambiente de prova.

Gabarito

B) 24. Este é o único valor de n que satisfaz as condições do problema, onde uma parcela na opção 1 (60.000/24 = 2.500) é exatamente R$ 500,00 mais cara que uma parcela na opção 2 (60.000/30 = 2.000).

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar o número original de parcelas, n, da primeira opção de pagamento.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no valor de R$ 60.000,00 como uma montanha de areia que precisa ser transportada. Temos dois planos:

Plano 1: Usar n caminhões grandes, cada um carregando uma quantidade P de areia.
Plano 2: Usar n+6 caminhões (mais caminhões), mas cada um é um pouco menor, carregando P-500 de areia.
Ambos os planos transportam a montanha inteira. Precisamos descobrir quantos caminhões (n) foram usados no Plano 1.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:

Modelar o Plano 1: Escrever uma equação que relacione o valor total, o número de parcelas (n) e o valor da parcela (P).
Modelar o Plano 2: Escrever uma segunda equação com as novas condições.
Unificar a Investigação: Combinar as duas equações para eliminar uma das incógnitas (P), deixando-nos com uma única equação apenas com n.
Resolver a Equação Final: Encontrar o valor de n que soluciona o caso.

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para este caso, precisamos de uma estratégia de investigação em duas frentes, que se unem para resolver o mistério. Essa estratégia é a montagem de um Sistema de Equações.

Dossiê do Detetive Financeiro

Pista 1 (A Opção 1): O valor total (60.000) é o número de parcelas (n) multiplicado pelo valor de cada parcela (P).
- Equação 1: 60.000 = n * P
Pista 2 (A Opção 2): O mesmo valor total (60.000) é o novo número de parcelas (n+6) multiplicado pelo novo valor de cada parcela (P-500).
- Equação 2: 60.000 = (n + 6) * (P – 500)
A Técnica Mestra (O Método da Substituição): Temos duas incógnitas (n e P). Para resolver, vamos isolar P na equação mais simples (a 1) e substituir essa expressão dentro da equação 2. Isso nos deixará com uma única equação e uma única incógnita (n).
- Da Equação 1: P = 60.000 / n
- Agora, vamos “injetar” essa informação na Equação 2.

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos executar nosso plano. Esta é a parte trabalhosa, a investigação de campo.

Iniciando a Substituição:
- Pegamos a Equação 2: 60.000 = (n + 6) * (P – 500)
- Substituímos P por 60.000 / n:
- 60.000 = (n + 6) * ( (60.000 / n) – 500 )
A Manipulação Algébrica (O “Trabalho Sujo”):
- Primeiro, vamos simplificar o termo dentro do segundo parêntese, achando um denominador comum:
  60.000 = (n + 6) * ( (60.000 – 500n) / n )
- Agora, para eliminar o n do denominador, multiplicamos ambos os lados da equação por n:
  60.000 * n = (n + 6) * (60.000 – 500n)
- Expandimos o lado direito (propriedade distributiva):
  60.000n = n*60.000 – n*500n + 6*60.000 – 6*500n
  60.000n = 60.000n – 500n² + 360.000 – 3.000n
- O termo 60.000n aparece dos dois lados, então podemos cancelá-lo:
  0 = -500n² – 3.000n + 360.000
- Para facilitar, multiplicamos tudo por -1 e organizamos:
  500n² + 3.000n – 360.000 = 0
- Dica de mestre: Os números são enormes. Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 500:
  n² + 6n – 720 = 0
Resolvendo a Equação Quadrática:
- Usando a fórmula de Bhaskara (a=1, b=6, c=-720):
- Δ = b² – 4ac = 6² – 4(1)(-720) = 36 + 2880 = 2916
- √Δ = √2916 = 54
- n = (-b ± √Δ) / 2a = (-6 ± 54) / 2
- Temos duas soluções:
  - n₁ = (-6 + 54) / 2 = 48 / 2 = 24
  - n₂ = (-6 – 54) / 2 = -60 / 2 = -30
- Como n é um número de parcelas, não pode ser negativo. A única solução válida é n = 24.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨 (E UMA ROTA DE FUGA)
CUIDADO! O caminho algébrico é longo e cheio de armadilhas para erros de sinal ou de cálculo. Em uma prova, o tempo é precioso. A rota de fuga do detetive é testar as alternativas! Em vez de resolver a equação, pegue os valores de n das alternativas e veja qual deles satisfaz a condição do problema. Isso é muito mais rápido.

Teste da Alternativa B (n=24):
- Opção 1: Parcela = 60.000 / 24 = R$ 2.500.
- Opção 2: Número de parcelas = 24 + 6 = 30. Parcela = 60.000 / 30 = R$ 2.000.
- Diferença = 2.500 – 2.000 = R$ 500. Bateu perfeitamente! Este é o culpado.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: A solução n=24 é a raiz positiva da equação quadrática n² + 6n – 720 = 0, derivada do sistema de equações que modela o problema.
Expectativa: A alternativa correta deve ser 24.

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 18

A “Narrativa do Erro”: Testando a alternativa: Parcela 1 = 60.000/18 ≈ 3.333. Parcela 2 = 60.000/24 = 2.500. A diferença é de R$ 833, não R$ 500.
O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta com os Dados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

B) 24

Análise de Correspondência: Como visto na nossa “Rota de Fuga”, este valor satisfaz todas as condições do problema. A diferença de valor entre as parcelas é exatamente R$ 500,00.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

C) 30

A “Narrativa do Erro”: Testando a alternativa: Parcela 1 = 60.000/30 = 2.000. Parcela 2 = 60.000/36 ≈ 1.667. A diferença é de R$ 333, não R$ 500.
O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta com os Dados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) 42 e E) 48

O “Diagnóstico do Erro”: Os valores estão ainda mais distantes de satisfazer a condição. São distratores para quem comete erros graves de cálculo.
Conclusão: ❌ Alternativas incorretas.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é B) 24, uma resposta que pode ser encontrada tanto pela rota longa e rigorosa da álgebra quanto pela rota rápida e estratégica de testar as alternativas.

Resumo-flash (A Imagem Mental): Duas rotas, um destino: traduza, substitua e resolva, ou simplesmente teste as pistas (alternativas) na cena do crime.

Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A estrutura matemática deste problema (Total = Quantidade × Taxa) é universal. Ela aparece de forma idêntica na Física Clássica. Considere a fórmula Distância = Velocidade × Tempo. Um problema análogo seria: “Uma viagem de 60 km é feita de duas formas. No Plano 1, leva-se t horas a uma velocidade v. No Plano 2, leva-se t+6 horas a uma velocidade v-500. Encontre t.” A equação resultante seria estruturalmente a mesma. Isso mostra como um mesmo modelo matemático pode descrever fenômenos tão diferentes como finanças e movimento.