Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
A) 36
B) 53
C) 300
D) 360
E) 560
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Análise Combinatória (Combinação e Princípio Fundamental da Contagem).
Tema/Objetivo Geral
Contagem do número de maneiras de distribuir objetos distintos em grupos de tamanhos definidos, sujeito a restrições específicas.
Nível da Questão
Difícil – A questão é desafiadora porque envolve uma combinação de diferentes técnicas de contagem. É necessário separar o problema em casos (Caso 1: velho ganha a bicicleta; Caso 2: velho ganha o celular), aplicar a fórmula da combinação múltiplas vezes em uma sequência lógica e, finalmente, usar o princípio aditivo para somar os resultados dos casos. A chance de se perder nas etapas ou confundir a ordem das escolhas é alta.
Gabarito
C) 300. Este número é a soma das 150 maneiras possíveis no caso em que o filho mais velho ganha a bicicleta e das 150 maneiras possíveis no caso em que ele ganha o celular.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é contar de quantas formas diferentes um pai pode distribuir 8 presentes distintos entre 3 filhos, seguindo um conjunto rigoroso de regras sobre a quantidade de presentes para cada um e sobre quem ganha a bicicleta e o celular.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como escalar uma montanha com um guia de regras. O guia diz:
- Regra de Tamanho das Mochilas: Filho mais velho (FV) e mais novo (FN) levam 3 itens. Filho do meio (FM) leva 2 itens.
- A Regra da Carga Especial: O FV deve levar ou a barraca (bicicleta) ou o saco de dormir (celular), mas nunca os dois juntos.
Nossa tarefa é contar quantos “kits de expedição” diferentes podemos montar para os três filhos.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): A “Regra da Carga Especial” nos força a dividir a investigação em dois cenários mutuamente exclusivos. O plano será:
- Cenário 1: O Velho Ganha a Bicicleta.
a. Alocar a bicicleta para o FV e o celular para outro filho.
b. Distribuir os presentes restantes. - Cenário 2: O Velho Ganha o Celular.
a. Alocar o celular para o FV e a bicicleta para outro filho.
b. Distribuir os presentes restantes. - Unificar os Resultados: Como os cenários não podem acontecer ao mesmo tempo, o total de maneiras será a soma dos resultados do Cenário 1 e do Cenário 2.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A principal ferramenta para este caso é a Combinação. Vamos criar um dossiê para ela.
Dossiê: A Ferramenta “Combinação” – C(n, k)
- 🕵️♂️ Quando usar? Usamos a Combinação quando precisamos escolher k itens de um total de n itens disponíveis, e a ordem da escolha não importa. Escolher o presente A e depois o B é o mesmo que escolher B e depois A.
- ⚖️ A Fórmula: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
- Aplicação no nosso caso: Para dar 2 presentes adicionais ao filho mais velho de um total de 6 presentes restantes, faremos C(6, 2).
A segunda ferramenta é o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), que diz que se uma decisão pode ser tomada de x maneiras e outra decisão, de y maneiras, então as duas juntas podem ser tomadas de x * y maneiras.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, investigando cada cenário metodicamente.
Universo de Presentes: {Bicicleta, Celular, P1, P2, P3, P4, P5, P6} – 8 no total.
Investigação do Cenário 1: O Filho Mais Velho (FV) ganha a BICICLETA.
- Alocando a Bicicleta: Damos a bicicleta ao FV. Ele agora tem 1 presente e precisa de mais 2.
- Alocando o Celular: O FV não pode ganhar o celular. Portanto, o celular deve ir para o Filho do Meio (FM) ou para o Filho Mais Novo (FN). Temos 2 opções para o celular.
- Sub-caso 1.1: O Celular vai para o FN.
- Sub-caso 1.2: O Celular vai para o FM.
- Vamos resolver de forma mais elegante: o celular é apenas um dos 6 presentes restantes que não podem ir para o FV.
- Completando a “Mochila” do FV: O FV precisa de mais 2 presentes. A bicicleta já foi. O celular não pode ser. Sobram 6 presentes comuns {P1…P6}. Precisamos escolher 2 deles.
- C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6*5)/2 = 15 maneiras.
- Completando as outras “Mochilas”:
- Até agora, 3 presentes foram distribuídos (Bicicleta para o FV, e os 2 que escolhemos para ele). Sobram 5 presentes (incluindo o celular).
- O FN precisa de 3 presentes. Escolhemos 3 dos 5 restantes.
- C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = (5*4)/2 = 10 maneiras.
- Os 2 presentes que sobraram vão automaticamente para o FM.
- C(2, 2) = 1 maneira.
- Total de Maneiras no Cenário 1 (PFC):
- Total 1 = (Escolhas para os presentes do FV) × (Escolhas para os presentes do FN)
- Total 1 = 15 × 10 = 150 maneiras.
Investigação do Cenário 2: O Filho Mais Velho (FV) ganha o CELULAR.
- Análise de Simetria: A estrutura do problema é idêntica à do Cenário 1. A bicicleta e o celular são, matematicamente, “simétricos” sob as regras do problema. Trocar um pelo outro não muda o número de possibilidades.
- Damos o celular ao FV.
- Ele precisa de mais 2 presentes, escolhidos dentre os 6 que não são a bicicleta. C(6, 2) = 15.
- Dos 5 restantes (incluindo a bicicleta), escolhemos 3 para o FN. C(5, 3) = 10.
- Os 2 que sobram vão para o FM. C(2, 2) = 1.
- Total 2 = 15 × 10 = 150 maneiras.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais comum é esquecer de dividir o problema em casos. Tentar resolver tudo de uma vez leva a uma contagem incorreta. Outro erro é, após escolher os presentes do FV, esquecer que o número de presentes disponíveis para os outros filhos diminuiu. A contagem sequencial e a atualização do “universo” de presentes a cada passo são cruciais.
Veredito Final: Unificando os Resultados
- O número total de maneiras é a soma dos resultados dos dois cenários, pois eles são mutuamente exclusivos.
- Total Geral = Total Cenário 1 + Total Cenário 2
- Total Geral = 150 + 150 = 300 maneiras.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O número total de distribuições é a soma de duas contagens separadas, uma para cada caso permitido pela restrição principal (velho com bicicleta ou velho com celular), onde cada contagem é um produto de combinações.
- Expectativa: A resposta deve ser 300.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 36, B) 53, E) 560
- O “Diagnóstico do Erro”: Esses valores surgem de erros graves no processo de contagem, como usar permutações em vez de combinações, ou não seguir a lógica de distribuição sequencial. O valor 560, por exemplo, é C(8,3), que seria a escolha inicial dos presentes do mais velho sem nenhuma restrição.
- Conclusão: ❌ Alternativas incorretas.
C) 300
- Análise de Correspondência: Este valor corresponde perfeitamente à soma dos nossos dois cenários (150 + 150), validando nossa investigação.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 360
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de cálculo comum que pode levar a um resultado próximo. Por exemplo, se o candidato calculasse C(6,2) como 15 e C(5,3) como 12 (um erro de conta), chegaria em 1512=180 para um caso, e 1802=360 no total.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é C) 300, uma resposta que só é alcançada pela estratégia de “dividir para conquistar”, quebrando um problema complexo com restrições em casos mais simples e gerenciáveis.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Regras com “ou” separam o mundo em dois. Conte cada mundo e depois some os resultados.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de “divisão em casos mutuamente exclusivos” é fundamental na programação de computadores e em algoritmos. Quando um programador escreve um código, ele usa estruturas condicionais como “IF-ELSE” (SE-SENÃO). Por exemplo: “SE (o usuário tem mais de 18 anos), execute o Código A; SENÃO, execute o Código B”. O número total de caminhos que o programa pode seguir é a soma das possibilidades dentro do bloco A mais a soma das possibilidades dentro do bloco B. A lógica de particionar um problema com base em uma condição é exatamente a mesma que usamos para separar o “Cenário da Bicicleta” do “Cenário do Celular”.