A caixa-d’água de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume igual a 28.080 litros. Em uma maquete que representa o edifício, a caixa-d’água tem dimensões 2 cm x 3,51 cm x 4 cm. Dado 1dm³ = 1 L.
A escala usada pelo arquiteto foi
A) 1 : 10
B) 1 : 100
C) 1 : 1.000
D) 1 : 10.000
E) 1 : 100.000
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Paralelepípedo)
- Matemática (Razão e Proporção, Escala, Conversão de Unidades)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo da escala linear de uma maquete a partir da relação entre o volume do objeto real e o volume do objeto na maquete.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige múltiplos passos: cálculo do volume da maquete, conversão de unidades de volume (litros para cm³) e, o passo mais crítico, a aplicação correta da relação entre a escala de volume (k³) e a escala linear (k), o que envolve o cálculo de uma raiz cúbica.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: Após calcular o volume da maquete (28,08 cm³) e converter o volume real para a mesma unidade (28.080.000 cm³), calcula-se a razão entre os volumes, que é a escala volumétrica (k³). A escala linear (k) é a raiz cúbica dessa razão, resultando em 1:100.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“A escala usada pelo arquiteto foi”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar a escala linear (do tipo 1 : x) que foi usada para construir a maquete, sabendo o volume real da caixa-d’água e as dimensões da caixa na maquete.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular o volume da caixa-d’água na maquete.
- Converter o volume real para a mesma unidade de medida.
- Encontrar a relação entre o volume real e o volume da maquete (escala de volume).
- Converter a escala de volume para a escala linear.
🧠 Se o volume de um objeto é 1000 vezes maior que o de sua maquete, a altura dele também é 1000 vezes maior, ou é um pouco menos? Lembrar da relação entre escala de volume e escala de comprimento é o segredo!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Escala Linear (k): É a razão entre uma medida de comprimento no desenho (ou maquete) e a medida correspondente no objeto real. Geralmente é expressa como 1 : x, onde x = (Medida Real) / (Medida no Desenho).
- Volume de Paralelepípedo: É o produto de suas três dimensões: V = comprimento × largura × altura.
- Relações de Escala: Se a escala linear é k, então:
- A escala de área é k².
- A escala de volume é k³.
Isso significa que: V_real = k³ ⋅ V_maquete.
- Conversão de Unidades de Volume:
- 1 Litro (L) = 1 decímetro cúbico (dm³)
- 1 dm³ = (10 cm)³ = 1000 cm³
- Portanto, 1 L = 1000 cm³.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos uma caixa-d’água gigante de 28.080 litros. Um arquiteto fez uma miniatura dela, uma caixinha de 2 cm x 3,51 cm x 4 cm. A pergunta é: quantas vezes a caixa real é maior que a miniatura em cada dimensão (comprimento, largura, altura)? Essa é a escala.
O caminho para descobrir isso é comparar os volumes. Primeiro, vamos deixar os dois volumes na mesma unidade. Depois, vamos dividir o volume real pelo volume da miniatura. O resultado dessa divisão não será a escala que procuramos, mas sim a “escala ao cubo”. Para encontrar a escala linear, teremos que tirar a raiz cúbica desse número.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será um passo a passo matemático:
- Calcular V_maquete em cm³.
- Converter V_real de litros para cm³.
- Calcular a razão volumétrica (k³) = V_real / V_maquete.
- Calcular a razão linear (k) tirando a raiz cúbica de k³. A escala será 1 : k.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular o volume da maquete (V_maquete)
- Dimensões da maquete: 2 cm, 3,51 cm, 4 cm.
- V_maquete = 2 ⋅ 3,51 ⋅ 4
- V_maquete = 8 ⋅ 3,51
- V_maquete = 28,08 cm³
Etapa 2: Converter o volume real (V_real) para cm³
- V_real = 28.080 litros
- Sabemos que 1 L = 1000 cm³.
- V_real = 28.080 × 1000
- V_real = 28.080.000 cm³
Etapa 3: Calcular a razão entre os volumes (Escala Volumétrica, k³)
- A relação é V_real = k³ ⋅ V_maquete, onde k é o fator da escala real/desenho.
- k³ = V_real / V_maquete
- k³ = 28.080.000 / 28,08
- Para facilitar a divisão, podemos escrever 28.080.000 como 28,08 × 1.000.000.
- k³ = (28,08 × 1.000.000) / 28,08
- k³ = 1.000.000
Etapa 4: Calcular a escala linear (k)
- A escala linear k é a raiz cúbica da escala volumétrica k³.
- k = ³√1.000.000
- Sabemos que 1.000.000 = 10⁶ = (10²)³ = 100³.
- k = ³√(100³)
- k = 100
- O fator k é 100. A escala é a razão entre a medida do desenho e a medida real, expressa como 1 : k.
Conclusão: A escala usada pelo arquiteto foi 1 : 100.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é parar na Etapa 3. O aluno encontra a razão entre os volumes (1.000.000) e pode procurar uma alternativa com esse número (como 1 : 1.000.000). É crucial lembrar que essa é a escala de volume. A questão pede a escala linear, que é a raiz cúbica da escala de volume.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a uma escala de 1 : 100. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1 : 10
Incorreta. Uma escala de 1:10 resultaria em uma razão de volume de 1:1.000.
🟢 B) 1 : 100
Correta. Uma escala linear de 1:100 resulta em uma razão de volume de 1 : 100³, ou seja, 1 : 1.000.000, o que corresponde aos dados do problema.
🔴 C) 1 : 1 000
Incorreta. Uma escala de 1:1.000 resultaria em uma razão de volume de 1 : 1.000.000.000.
🔴 D) 1 : 10 000
Incorreta.
🔴 E) 1 : 100 000
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido comparando o volume da caixa-d’água real com o de sua maquete. Primeiro, calculou-se o volume da maquete, obtendo 28,08 cm³. Em seguida, o volume real foi convertido para a mesma unidade, resultando em 28.080.000 cm³. A razão entre o volume real e o da maquete é de 1.000.000. Como a escala de volume (k³) é o cubo da escala linear (k), a escala linear é a raiz cúbica da razão dos volumes. A raiz cúbica de 1.000.000 é 100. Portanto, a escala linear utilizada foi de 1 : 100.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da trindade das escalas:
- Escala Linear (comprimento): k
- Escala de Área: k²
- Escala de Volume: k³
Se o problema te dá o volume e pede a escala linear, você precisa tirar a raiz cúbica