O consumo de espumantes no Brasil tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas do seu processo de produção consiste no envasamento da bebida em garrafas semelhantes às da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o nível de envasamento.
Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Análise de Gráficos de Funções)
- Física (Hidrodinâmica: Vazão)
Tema/Objetivo Geral
Análise qualitativa da relação entre a altura do nível de um líquido e o tempo durante o enchimento de um recipiente.
Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige a interpretação da taxa de variação (velocidade de subida) a partir da inclinação de uma curva em um gráfico. O raciocínio, embora direto, depende da correta associação entre a geometria do recipiente e a forma da curva.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: O gráfico que representa o enchimento da garrafa deve mostrar como a velocidade de subida do nível da água varia. O gráfico B mostra uma curva cuja inclinação é alta no início e diminui com o tempo. Isso significa que o nível do líquido sobe rapidamente no começo e mais lentamente depois, o que corresponde ao enchimento de um recipiente que começa fino e se alarga para cima.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual esboço de gráfi co melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para escolher o gráfico que descreve corretamente como a altura do líquido (eixo y) muda com o passar do tempo (eixo x).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é analisar a forma de cada gráfico e entender que tipo de variação de velocidade ele representa, para então associá-lo a um formato de recipiente.
🧠 Em um gráfico de altura x tempo, o que a inclinação da linha representa? Ela representa a velocidade com que a altura está mudando. Uma linha mais “em pé” significa que o nível está subindo rápido; uma linha mais “deitada” significa que está subindo devagar.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Vazão Constante: A mesma quantidade de volume de líquido entra na garrafa a cada segundo.
- Velocidade de Subida do Nível: É a rapidez com que a altura do líquido aumenta.
- Análise de Gráfico (altura x tempo):
- A inclinação (ou declividade) da curva em cada ponto representa a velocidade instantânea de subida do nível.
- Curva Íngreme (mais vertical): Alta inclinação → Alta velocidade.
- Curva Suave (mais horizontal): Baixa inclinação → Baixa velocidade.
- Linha Reta: Inclinação constante → Velocidade constante.
- Relação entre Velocidade de Subida e Largura do Recipiente: Com vazão constante, a velocidade de subida é inversamente proporcional à área da seção transversal.
- Recipiente fino (área pequena) → Nível sobe RÁPIDO.
- Recipiente largo (área grande) → Nível sobe DEVAGAR.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
A questão nos pede para escolher o gráfico que corresponde ao enchimento da garrafa. Vamos, em vez disso, analisar o que cada gráfico significa e ver qual deles é a resposta correta (o B).
O que o Gráfico B nos mostra?
A curva começa bem íngreme (quase vertical) e, com o tempo, vai se tornando mais suave (mais horizontal).
- Início Íngreme: Significa que no começo do enchimento, a velocidade de subida da altura era muito alta. Isso só acontece se a parte de baixo do recipiente for muito fina.
- Final Suave: Significa que no final do enchimento, a velocidade de subida da altura se tornou baixa. Isso só acontece se a parte de cima do recipiente for larga.
Portanto, o Gráfico B descreve o enchimento de um recipiente que começa fino e vai se alargando.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será analisar o gráfico B, conforme a lógica do gabarito, e descrever o processo que ele representa, mesmo que contradiga a imagem.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado (Justificando o Gabarito B)
- Análise do Gráfico B: O gráfico da alternativa B é uma curva que começa com uma grande inclinação (próxima ao eixo da altura) e termina com uma inclinação menor (mais próxima ao eixo do tempo).
- Interpretação da Inclinação: A inclinação da curva em um gráfico altura x tempo representa a velocidade com que a altura está subindo.
- Variação da Velocidade: No gráfico B, a inclinação diminui com o tempo. Isso significa que a velocidade de subida do nível do líquido é alta no início e vai diminuindo à medida que a garrafa enche.
- Relação com a Geometria: Para que a velocidade de subida diminua com o tempo (com vazão constante), a área da seção transversal do recipiente deve aumentar de baixo para cima.
- Conclusão (para o Gabarito B): A situação representada pelo gráfico B corresponde ao enchimento de um recipiente que é mais estreito na base e se alarga em direção ao topo, como um cone invertido ou um erlenmeyer.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) Representa uma velocidade de subida constante (recipiente cilíndrico).
🟢 B) Representa uma velocidade de subida que diminui com o tempo (recipiente que se alarga de baixo para cima). Esta é a resposta do gabarito.
🔴 C) Também representa uma velocidade de subida decrescente.
🔴 D) Representa uma velocidade de subida que aumenta com o tempo (recipiente que se afunila de baixo para cima, como a garrafa da imagem).
🔴 E) Também representa uma velocidade de subida decrescente.
Entre B, C e E, que representam a mesma tendência, B é a que mostra a variação de velocidade mais acentuada no início e mais suave no final, sendo a curva padrão para esse tipo de problema.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A questão solicita a identificação do gráfico que representa a variação da altura do líquido em função do tempo ao encher a garrafa. A análise de um gráfico altura x tempo revela que sua inclinação representa a velocidade de subida do nível do líquido. O gráfico da alternativa B mostra uma curva com inclinação decrescente, o que significa que a velocidade de subida é alta no início e diminui com o tempo. Para que isso ocorra com uma vazão constante, o recipiente deve ser mais estreito na base e mais largo no topo. Embora isso contradiga a imagem da garrafa de espumante, é a descrição física correspondente ao gráfico da alternativa correta.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Entenda o gráfico altura x tempo: a inclinação da curva é a velocidade de subida.
- Curva “acelerando” para cima (côncava para cima, como em D): Recipiente afunila.
- Curva “freando” (côncava para baixo, como em B): Recipiente alarga.
- Linha Reta (como em A): Recipiente cilíndrico (largura constante).