O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet, mensalidade escolar e mesada do filho.
No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e 10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a mesada do filho.
Qual será a porcentagem da redução da mesada?
A) 15,0
B) 23,5
C) 30,0
D) 70,0
E) 76,5
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Financeira (Porcentagem: Acréscimos e Descontos)
- Aritmética (Cálculos de Despesa Total)
Tema/Objetivo Geral
Cálculo da porcentagem de redução de um item de despesa para compensar o aumento de outros itens, a fim de manter o gasto total constante.
Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão envolve múltiplos passos: calcular o gasto total inicial, calcular os novos valores dos itens com acréscimo, determinar o novo valor disponível para a mesada e, finalmente, calcular a porcentagem de redução da mesada. Embora os cálculos sejam de porcentagem, a sequência lógica precisa ser seguida corretamente para não haver erros.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: O problema é resolvido em etapas. Calcula-se a despesa total inicial (R$ 1220). Calcula-se a nova despesa com internet (R$ 144) e escola (R$ 770). O aumento total na despesa foi de R$ 94. Para manter o gasto total, a mesada deve ser reduzida nesse mesmo valor, passando de R$ 400 para R$ 306. A redução percentual é então calculada sobre o valor original da mesada, resultando em 23,5%.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a mesada do filho. Qual será a porcentagem da redução da mesada?”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular de quantos por cento a mesada do filho precisa diminuir para que a conta total da família (internet + escola + mesada) continue a mesma de antes, mesmo com os aumentos da internet e da escola.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular o gasto total antes dos aumentos.
- Calcular os novos valores da internet e da mensalidade depois dos aumentos.
- Descobrir qual deve ser o novo valor da mesada para que o gasto total não mude.
- Calcular a porcentagem de redução da mesada.
🧠 A porcentagem de redução da mesada deve ser calculada em relação ao valor novo da mesada ou ao valor antigo? A base de cálculo da porcentagem é crucial para não errar a conta final!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Acréscimo Percentual: Para aplicar um acréscimo de p% a um valor V, calcula-se p/100 * V e soma-se ao valor original, ou multiplica-se V pelo fator de aumento (1 + p/100).
- Acréscimo de 20%: Multiplicar por 1,20.
- Acréscimo de 10%: Multiplicar por 1,10.
- Redução Percentual: Para calcular a porcentagem de redução de um valor V_antigo para um V_novo, a fórmula é:
Onde Valor da Redução = V_antigo – V_novo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que o orçamento da família para essas três contas é uma caixa com um tamanho fixo. O dinheiro gasto com internet e escola são “tijolos” que colocamos dentro dessa caixa, e a mesada do filho é o que sobra.
De repente, os tijolos da internet e da escola ficaram maiores (tiveram acréscimo). Como a caixa tem que continuar do mesmo tamanho, o espaço que sobra para a mesada do filho vai ter que diminuir. A pergunta é: de quantos por cento o espaço da mesada encolheu?
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será calcular o “prejuízo” total causado pelos aumentos. O valor exato desse prejuízo (em reais) terá que ser descontado da mesada do filho. Depois, calculamos o que esse desconto representa em porcentagem do valor original da mesada.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular o aumento total na despesa
- Aumento Internet (20% de R$120):
- Aumento Mensalidade (10% de R$700):
- Aumento Total:
Etapa 2: Calcular a porcentagem da redução da mesada
- O aumento total (R$ 94) é o valor que precisa ser reduzido da mesada. Este é o Valor da Redução.
- O Valor Original da mesada é R$ 400.
- Aplicando a fórmula da redução percentual:
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é calcular a porcentagem de redução usando uma base errada. Por exemplo, dividir a redução (94) pela despesa total (1220), o que daria um resultado completamente diferente. É crucial lembrar que a pergunta é sobre a porcentagem de redução da mesada, então o valor original da mesada deve ser o denominador.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a um resultado de 23,5%. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 15,0
🟢 B) 23,5 Correta. Corresponde exatamente ao percentual de redução calculado.
🔴 C) 30,0
🔴 D) 70,0
🔴 E) 76,5
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido calculando-se primeiro o valor total do aumento nas despesas, que deve ser compensado pela redução da mesada.
- Aumento total = (Acréscimo Internet) + (Acréscimo Mensalidade)
- Esse valor, R$ 94, é a redução necessária na mesada. Para encontrar a porcentagem que essa redução representa, divide-se o valor da redução pelo valor original da mesada:
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas de compensação de orçamento seguem a lógica da balança: o que aumenta de um lado, tem que diminuir do outro para manter o equilíbrio. A chave é calcular o valor absoluto da mudança (R$ 94) e só no final transformar esse valor em porcentagem em relação à base correta (a mesada original).