Você foi contratado para sincronizar os quatro semáforos de uma avenida, indicados pelas letras O, A,
B e C, conforme a figura.
Os semáforos estão separados por uma distância de 500 m. Segundo os dados estatísticos da companhia
controladora de trânsito, um veículo, que está inicialmente parado no semáforo O, tipicamente parte
com aceleração constante de 1 m s−2 até atingir a velocidade de 72 km h−1 e, a partir daí, prossegue com
velocidade constante. Você deve ajustar os semáforos A, B e C de modo que eles mudem para a cor verde
quando o veículo estiver a 100 m de cruzá-los, para que ele não tenha que reduzir a velocidade em nenhum
momento.
Considerando essas condições, aproximadamente quanto tempo depois da abertura do semáforo O os
semáforos A, B e C devem abrir, respectivamente?
A) 20 s, 45 s e 70 s.
B) 25 s, 50 s e 75 s.
C) 28 s, 42 s e 53 s.
D) 30 s, 55 s e 80 s.
E )35 s, 60 s e 85 s
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Física (Cinemática: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV)
- Física (Cinemática: Movimento Retilíneo Uniforme – MRU)
- Conversão de Unidades
🎯 Tema/Objetivo Geral
Calcular os instantes de tempo em que um veículo, com movimento dividido em duas fases (acelerado e uniforme), atinge pontos específicos de uma trajetória para sincronizar semáforos.
📊 Nível da Questão
Difícil.
Por quê? A questão é complexa e exige múltiplos passos e a aplicação correta de diferentes fórmulas da cinemática. Envolve a análise de um movimento em duas etapas, conversão de unidades e a interpretação cuidadosa do comando (o semáforo abre quando o carro está a 100m de distância), o que aumenta a chance de erros.
✅ Gabarito
Alternativa D.
Resumo: O problema é resolvido em duas partes. Primeiro, calcula-se o tempo e a distância que o carro leva para acelerar até 72 km/h (20 m/s). Descobre-se que isso leva 20s e ele percorre 200m. Depois, calcula-se o tempo que ele leva para percorrer as distâncias restantes até 100m antes de cada semáforo, agora com velocidade constante de 20 m/s. Somando-se os tempos, encontra-se os instantes em que cada semáforo deve abrir.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“aproximadamente quanto tempo depois da abertura do semáforo O os semáforos A, B e C devem abrir, respectivamente?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos três instantes de tempo:
- O instante em que o semáforo A deve abrir.
- O instante em que o semáforo B deve abrir.
- O instante em que o semáforo C deve abrir.
A condição é que cada semáforo abra quando o veículo estiver a 100 metros de distância dele.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é descrever o movimento do carro (posição em função do tempo) e usar essa descrição para encontrar os instantes em que ele atinge as posições (Posição do Semáforo A) – 100m, (Posição do Semáforo B) – 100m e (Posição do Semáforo C) – 100m.
🧠 Você percebeu que o movimento do carro não é o mesmo durante todo o percurso? Identificar onde o movimento muda de acelerado para uniforme é o passo mais crucial para não errar os cálculos!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV): Movimento em que a velocidade varia de forma constante, ou seja, a aceleração é constante e diferente de zero.
- Função Horária da Velocidade: v = v₀ + a·t
- Função Horária da Posição: S = S₀ + v₀·t + (a·t²)/2
- Equação de Torricelli: v² = v₀² + 2·a·ΔS
- Movimento Retilíneo Uniforme (MRU): Movimento em que a velocidade é constante e a aceleração é zero.
- Função Horária da Posição: S = S₀ + v·t (ou v = ΔS / Δt)
- Conversão de Unidades: A velocidade foi dada em km/h e a aceleração em m/s². É essencial trabalhar com unidades consistentes. A conversão padrão é:
- km/h → m/s: dividir por 3,6.
- m/s → km/h: multiplicar por 3,6.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você é um engenheiro de trânsito e precisa criar uma “onda verde” perfeita. Um carro sai do ponto O (parado). Ele pisa fundo, acelerando a 1 m/s² até chegar a 72 km/h. A partir daí, ele mantém essa velocidade constante. Sua missão é fazer com que os semáforos A, B e C fiquem verdes exatamente quando o carro estiver a 100 metros de cada um, para que o motorista não precise frear. Você precisa calcular o tempo exato, a partir do momento em que o semáforo O abriu, para programar a abertura de A, B e C.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será dividir o movimento do carro em duas fases e analisar cada uma delas:
- Fase 1 (MRUV): Calcular quanto tempo e que distância o carro leva para ir de 0 a 72 km/h.
- Fase 2 (MRU): Usar a posição e o tempo final da Fase 1 como condições iniciais para calcular o tempo necessário para chegar às posições de abertura dos semáforos.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciċínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Análise Preliminar e Conversão de Unidades
- Posição do semáforo O: S_O = 0 m
- Posição do semáforo A: S_A = 500 m
- Posição do semáforo B: S_B = 1000 m
- Posição do semáforo C: S_C = 1500 m
- Aceleração inicial (a) = 1 m/s²
- Velocidade inicial (v₀) = 0 m/s
- Velocidade final da aceleração (v_final) = 72 km/h. Vamos converter para m/s:
- v_final = 72 / 3,6 = 20 m/s
Fase 1: Movimento Acelerado (MRUV)
Primeiro, vamos descobrir por quanto tempo e por qual distância o carro acelera.
- Tempo para atingir 20 m/s (t₁):
- Usando v = v₀ + a·t:
- 20 = 0 + 1 · t₁
- t₁ = 20 s
- Distância percorrida durante a aceleração (ΔS₁):
- Usando S = S₀ + v₀·t + (a·t²)/2:
- ΔS₁ = 0 + 0·(20) + (1 · 20²) / 2
- ΔS₁ = 400 / 2
- ΔS₁ = 200 m
Verificação Intermediária: Após 20 segundos, o carro está na posição 200 m, viajando a 20 m/s. A partir deste ponto, o movimento é uniforme.
Fase 2: Cálculo dos Tempos de Abertura dos Semáforos
- Semáforo A:
- Posição de abertura: S_A – 100 m = 500 – 100 = 400 m
- A posição 400 m está depois do trecho de aceleração (que termina em 200 m).
- Distância a ser percorrida em MRU: ΔS_A = 400 m – 200 m = 200 m
- Tempo para percorrer essa distância em MRU (t_A’):
- t_A’ = ΔS_A / v = 200 / 20 = 10 s
- Tempo total para o semáforo A abrir (t_A):
- t_A = t₁ + t_A’ = 20 s + 10 s = 30 s
- Semáforo B:
- Posição de abertura: S_B – 100 m = 1000 – 100 = 900 m
- Distância a ser percorrida em MRU: ΔS_B = 900 m – 200 m = 700 m
- Tempo para percorrer essa distância em MRU (t_B’):
- t_B’ = ΔS_B / v = 700 / 20 = 35 s
- Tempo total para o semáforo B abrir (t_B):
- t_B = t₁ + t_B’ = 20 s + 35 s = 55 s
- Semáforo C:
- Posição de abertura: S_C – 100 m = 1500 – 100 = 1400 m
- Distância a ser percorrida em MRU: ΔS_C = 1400 m – 200 m = 1200 m
- Tempo para percorrer essa distância em MRU (t_C’):
- t_C’ = ΔS_C / v = 1200 / 20 = 60 s
- Tempo total para o semáforo C abrir (t_C):
- t_C = t₁ + t_C’ = 20 s + 60 s = 80 s
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha mais perigosa é esquecer que o movimento tem duas fases. Se o aluno tentasse aplicar a fórmula do MRUV para toda a distância, ou a do MRU desde o início, todos os cálculos estariam errados. Outra armadilha é esquecer a condição de “abrir 100m antes”, calculando o tempo para chegar exatamente no semáforo.
Fechamento e Expectativa
Os tempos calculados foram 30 s, 55 s e 80 s. Agora, vamos procurar a alternativa que corresponda a esses valores.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 20 s, 45 s e 70 s.
🔴 B) 25 s, 50 s e 75 s.
🔴 C) 28 s, 42 s e 53 s.
🟢 D) 30 s, 55 s e 80 s. Correta. Os valores correspondem exatamente aos tempos calculados para os semáforos A, B e C, respectivamente.
🔴 E) 35 s, 60 s e 85 s.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A resolução do problema exigiu a análise do movimento do veículo em duas etapas distintas. Na primeira etapa (MRUV), calculou-se que o carro leva 20 segundos para atingir 20 m/s, percorrendo 200 metros. Na segunda etapa (MRU), com velocidade constante de 20 m/s, calculou-se o tempo adicional para atingir as posições de abertura de cada semáforo (400 m, 900 m e 1400 m). Somando-se os tempos das duas fases, os instantes de abertura para os semáforos A, B e C foram, respectivamente, 30 s, 55 s e 80 s.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas de cinemática com mudança de tipo de movimento são comuns. Sempre divida o problema em “capítulos”: calcule as condições finais do primeiro movimento (posição, velocidade e tempo) e use-as como condições iniciais para o segundo movimento.