Um novo condomínio foi construído na Rua X. Alguns lotes já receberam numeração da prefeitura, enquanto outros apresentam apenas o sobrenome do seu proprietário. O servidor da prefeitura numerará os lotes que ainda não foram numerados. Para isso, ele observa o padrão da numeração já existente, conforme apresentado na figura, percebendo que, em cada lado da rua, as sequências das numerações formam progressões aritméticas, e, com isso, atribui um número ao lote da família Costa.
O número atribuído ao lote da família Costa é
A) 51.
B) 73.
C) 95.
D) 117.
E) 161.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Matemática (Progressão Aritmética – PA).
Tema/Objetivo Geral: Calcular o primeiro termo de uma Progressão Aritmética (PA) desconhecida a partir de dois termos conhecidos e não consecutivos.
Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? O aluno precisa ignorar uma parte da imagem (a rua de baixo) e focar na rua de cima. Além disso, os termos conhecidos estão distantes (3º e 5º), exigindo que o aluno deduza a razão através da diferença entre as posições, o que não é imediato como subtrair dois números vizinhos.
Gabarito: C (95).
A alternativa está correta pois, em uma PA, se o terceiro termo é 139 e o quinto é 183, a razão é 22. Subtraindo a razão duas vezes a partir do terceiro termo (139 – 22 – 22), chegamos ao primeiro termo, que é 95.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer descobrir o número da casa da Família Costa.
Onde está a família Costa? É a primeira casa da rua de cima.
O que sabemos?
- A numeração segue uma Progressão Aritmética (PA).
- A casa 3 vale 139.
- A casa 5 vale 183.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma escada onde todos os degraus têm a mesma altura (razão).
- Você sabe que o 3º degrau está na altura 139 cm.
- Você sabe que o 5º degrau está na altura 183 cm.
- A pergunta é: Em que altura está o 1º degrau?
Plano de Ataque:
- Focar no Alvo: Esquecer a rua de baixo (é só distração).
- Achar a Razão (r): Quanto a numeração pula de uma casa para a outra?
- Voltar no Tempo: Subtrair essa razão para descobrir os números das casas anteriores (Pereira e Costa).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a propriedade fundamental da Progressão Aritmética (PA).
Ferramenta 1: A Distância entre Termos
Se você está no termo 3 e quer ir para o termo 5, quantos passos você dá?
5 – 3 = 2 passos.
Matematicamente:
Termo_5 = Termo_3 + 2.r
(onde “r” é o tamanho do passo/razão).
Ferramenta 2: A Volta
Para achar o Termo_1 a partir do Termo_3:
Termo_1 = Termo_3 – 2.r
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos na rua de cima:
1. Descobrindo o tamanho do pulo (Razão r):
Entre a Casa 3 (139) e a Casa 5 (183) existem 2 pulos (passamos pela Casa 4 e chegamos na 5).
- Diferença total = 183 – 139 = 44.
- Como foram 2 pulos para subir 44, cada pulo vale:
44 dividido por 2 = 22.
Razão (r) = 22.
2. Encontrando a casa Costa (1º Termo):
Estamos na Casa 3 (139). Queremos voltar para a Casa 1 (Costa).
Precisamos dar 2 pulos para trás.
- Casa 2 (Pereira) = 139 – 22 = 117.
- Casa 1 (Costa) = 117 – 22 = 95.
Síntese do Detetive:
A numeração pula de 22 em 22.
Costa (95) -> Pereira (117) -> 139 -> Dias (161) -> 183.
Tudo se encaixa!
Expectativa: Alternativa C.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 51.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter subtraído 44 duas vezes (achando que a razão era 44), chegando em 139 – 88 = 51.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) 73.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter calculado a razão errada (talvez 33?) ou subtraído a razão correta (22) três vezes em vez de duas.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) 95.
- Análise: Perfeita. Calculamos a razão (r = 22) baseada na diferença entre o 5º e o 3º termo. Ao subtrair 2r do 3º termo (139 – 44), encontramos exatamente 95.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) 117.
- Diagnóstico do Erro: Parou no meio do caminho. O aluno subtraiu a razão apenas uma vez. Esse é o número da casa da família Pereira (a 2ª casa), não da família Costa (a 1ª).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- E) 161.
- Diagnóstico do Erro: Direção Errada. O aluno somou a razão ao invés de subtrair. Esse é o número da casa da família Dias (a 4ª casa).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para encontrar um termo anterior em uma Progressão Aritmética, determinamos a razão dividindo a diferença entre dois termos conhecidos pela distância de suas posições e, em seguida, subtraímos essa razão do termo de referência quantas vezes forem necessárias para regredir à posição desejada.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se do 3º para o 5º eu subo 44, então cada degrau é 22. Para descer do 3º para o 1º, desço dois degraus: 139 menos 44 dá 95.”
🧠 Para ir Além (Urbanismo):
Essa questão imita a vida real! As prefeituras usam “progressão aritmética” (mais ou menos) para numerar casas baseada na metragem. Se a razão é 22, significa que cada lote tem aproximadamente 22 metros de frente. Assim, o número da casa indica quantos metros ela está do começo da rua!