Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.
Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.
As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.
O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é
A) 11 520.
B) 14 400.
C) 18 000.
D) 312 000.
E) 390 000.
Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem)
- Interpretação de Texto
- Tema/Objetivo Geral: Calcular o número de senhas possíveis que podem ser formadas sob um conjunto de regras específicas, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige uma leitura atenta para separar as regras para os algarismos das regras para as letras e, principalmente, para identificar o universo correto de caracteres disponíveis para cada parte da senha.
- Gabarito: B
- A alternativa está correta. Para os 2 algarismos distintos, temos 5 opções para o primeiro e 4 para o segundo (5×4 = 20). Para as 3 letras diferentes, o universo de letras disponíveis vem das teclas 2, 5 e 7 (JÁ QUE AS LETRAS SÓ PODEM VIR DAS TECLAS SELECIONADAS), totalizando 10 letras (ABC, JKL, PQRS). Assim, temos 10 opções para a primeira letra, 9 para a segunda e 8 para a terceira (10×9×8 = 720). O total de possibilidades é o produto: 20 × 720 = 14.400.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: Quantas senhas diferentes de 5 caracteres podemos criar, sabendo que:
- A senha é formada por [NÚMERO] [NÚMERO] [LETRA] [LETRA] [LETRA].
- Os dois números devem ser distintos e escolhidos do grupo {1, 2, 5, 7, 0}.
- As três letras devem ser diferentes e escolhidas das letras que aparecem nas teclas {1, 2, 5, 7, 0}.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você está montando uma placa de carro personalizada. A placa tem 5 espaços. Os dois primeiros espaços só podem ser preenchidos com placas numéricas de um conjunto limitado de 5 opções, e você não pode repetir. Os três últimos espaços só podem ser preenchidos com placas de letras de um conjunto específico, e você também pode repetir. Nossa tarefa de detetive é calcular o número total de placas de carro únicas que podemos montar.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Mapear os Espaços: Vamos desenhar os 5 espaços da senha.
- Analisar o Universo de Algarismos: Quantos números podemos usar?
- Analisar o Universo de Letras: Quantas letras podemos usar e de onde elas vêm?
- Calcular as Possibilidades: Vamos usar o Princípio Fundamental da Contagem para preencher cada espaço.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a melhor ferramenta é a Análise de Vagas e Candidatos (Princípio Fundamental da Contagem).
- A ESTRUTURA DA SENHA (As 5 Vagas):
(N1) (N2) (L1) (L2) (L3) - OS “CANDIDATOS” (O Universo de Caracteres):
- Para as Vagas de Algarismo (N1, N2):
- Conjunto de Teclas: {1, 2, 5, 7, 0}
- Total de Candidatos Algarismos: 5
- Para as Vagas de Letra (L1, L2, L3):
- O enunciado diz que o funcionário pode escolher “entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas“.
- Tecla 1: Nenhuma letra.
- Tecla 2: A, B, C (3 letras).
- Tecla 5: J, K, L (3 letras).
- Tecla 7: P, Q, R, S (4 letras).
- Tecla 0: Nenhuma letra.
- Total de Candidatos Letras: 3 + 3 + 4 = 10
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos preencher as vagas com os candidatos, respeitando as regras.
1. Preenchendo as Vagas de Algarismos (distintos):
- Vaga N1: Temos 5 algarismos disponíveis. → 5 possibilidades.
- Vaga N2: Já usamos um algarismo, e não podemos repetir. Sobram 4. → 4 possibilidades.
- Total de arranjos para os números: 5 × 4 = 20.
2. Preenchendo as Vagas de Letras (diferentes):
- Vaga L1: Temos 10 letras disponíveis. → 10 possibilidades.
- Vaga L2: Já usamos uma letra, e não podemos repetir. Sobram 9. → 9 possibilidades.
- Vaga L3: Já usamos duas letras. Sobram 8. → 8 possibilidades.
- Total de arranjos para as letras: 10 × 9 × 8 = 720.
3. Calculando o Total de Senhas Possíveis:
- Para cada um dos 20 arranjos de números, existem 720 arranjos de letras.
- Total de Possibilidades = (Arranjos de Números) × (Arranjos de Letras)
- Total = 20 × 720
- Total = 14.400
Conclusão da Investigação: O número de senhas diferentes é 14.400.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é não ler a restrição “distintos” e “diferentes”, usando 5×5 para os números ou 10×10×10 para as letras. Outra armadilha é errar a contagem do universo de letras, talvez incluindo letras de teclas não permitidas (como 3, 4, 6, 8, 9).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação levou a um cálculo de (5 × 4) × (10 × 9 × 8).
- Expectativa: O resultado final deve ser 14.400.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 11 520.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de cálculo. Este valor não corresponde a uma aplicação lógica do Princípio Fundamental da Contagem com os dados do problema.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 14 400.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde exatamente ao resultado do nosso cálculo: 20 × 720 = 14.400.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- C) 18 000.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter cometido um erro e não considerado a restrição de letras diferentes. (5×4) × (10×10×10) = 20 × 1000 = 20.000. Não bate. Talvez 5 × 5 × 10 × 9 × 8 = 18.000. Este seria o erro de não considerar os algarismos como distintos.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na Aplicação da Restrição. O candidato considerou os algarismos como podendo ser repetidos.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 312 000.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro grave de cálculo, possivelmente na identificação do universo de letras.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 390 000.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro grave de cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta. Este caso é uma demonstração clássica do poder do Princípio Fundamental da Contagem para resolver problemas de senha e combinações, mostrando que, mesmo com um universo limitado de caracteres, o número de possibilidades pode ser surpreendentemente grande.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Contar senhas é como preencher vagas: multiplique os candidatos para cada cadeira, lembrando de tirar quem já sentou.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio da Análise Combinatória é fundamental na Bioinformática para analisar sequências de DNA. O DNA é uma “senha” escrita com apenas 4 “letras” (A, T, C, G). Um pequeno gene pode ter milhares de caracteres. Calcular o número de sequências de DNA possíveis de um certo tamanho (4ⁿ) mostra a vastidão do espaço genético. Além disso, algoritmos de alinhamento de sequências, que buscam por “senhas” (genes) semelhantes em diferentes espécies para estudar a evolução, são uma aplicação direta e muito mais complexa dos mesmos princípios combinatórios que usamos para resolver esta questão.