João e Felipe participaram, na escola, de uma maratona de matemática na qual, durante uma semana, resolveram 200 questões cada. Nessa maratona, a porcentagem P de acertos de cada participante é convertida em um conceito:
• insatisfatório: se 0 ≤ P < 50;
• regular: se 50 ≤ P < 60;
• bom: se 60 ≤ P < 75;
• muito bom: se 75 ≤ P < 90;
• excelente: se 90 ≤ P ≤ 100.
João acertou 75% das questões da maratona e Felipe acertou 30% a menos que a quantidade de questões que João acertou.
Os conceitos de João e Felipe foram, respectivamente,
A) muito bom e bom.
B) muito bom e regular.
C) muito bom e insatisfatório.
D) bom e regular.
E) bom e insatisfatório.
Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Porcentagem)
- Interpretação de Texto e Tabelas
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a porcentagem de acertos de dois estudantes e, em seguida, enquadrá-los em faixas de classificação pré-definidas.
- Nível da Questão: Fácil.
- A questão envolve cálculos de porcentagem diretos. A principal fonte de erro está na interpretação da frase “30% a menos que a quantidade de questões que João acertou”, que exige um cálculo em duas etapas.
- Gabarito: B
- A alternativa está correta. João acertou 75% das questões, o que o enquadra no conceito “muito bom” (faixa de 75% a 90%). Felipe acertou 30% a menos que a quantidade de João (150 questões), ou seja, ele acertou 105 questões. Em porcentagem, Felipe acertou 105/200 = 52,5%, o que o enquadra no conceito “regular” (faixa de 50% a 60%).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é dupla:
- Descobrir o conceito de João.
- Calcular o número de acertos de Felipe, descobrir sua porcentagem e, então, encontrar seu conceito.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma competição de tiro ao alvo com 200 alvos. João acertou 75% deles. Felipe acertou 30% a menos do número de alvos que João acertou. Nossa tarefa é pegar o desempenho de cada um e ver em qual “faixa de medalha” (insatisfatório, regular, bom, etc.) eles se encaixam.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Analisar o Desempenho de João: Calcular o número de acertos de João e determinar seu conceito.
- Analisar o Desempenho de Felipe: Calcular o número de acertos de Felipe (com base nos de João) e, em seguida, converter para porcentagem e determinar seu conceito.
- Juntar as Conclusões: Combinar os dois conceitos na ordem correta.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta principal é o Cálculo de Porcentagem em Etapas.
RELATÓRIO DE DESEMPENHO
- Total de Questões (Alvos): 200.
- Análise de João:
- Porcentagem de Acertos (P_João): 75%.
- Quantidade de Acertos (Q_João): 75% de 200 = 0,75 × 200 = 150 questões.
- Análise de Felipe:
- A Pista Crucial: “Felipe acertou 30% a menos que a quantidade de questões que João acertou“.
- A “base” para o cálculo de Felipe não é 200, mas sim os 150 acertos de João.
- Redução de Felipe = 30% de 150 = 0,30 × 150 = 45 questões.
- Quantidade de Acertos (Q_Felipe): Q_João – Redução = 150 – 45 = 105 questões.
- Porcentagem de Acertos (P_Felipe): (Acertos de Felipe / Total de Questões) × 100%
P_Felipe = (105 / 200) × 100% = 0,525 × 100% = 52,5%.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Nossos cálculos nos deram as porcentagens exatas. Agora, vamos classificar cada um usando a tabela de conceitos.
1. Classificando João:
- Porcentagem de Acertos: 75%.
- Analisando as faixas:
- bom: se 60 ≤ P < 75 (não inclui o 75)
- muito bom: se 75 ≤ P < 90 (inclui o 75)
- Conceito de João: Muito Bom.
2. Classificando Felipe:
- Porcentagem de Acertos: 52,5%.
- Analisando as faixas:
- insatisfatório: se 0 ≤ P < 50
- regular: se 50 ≤ P < 60 (inclui o 52,5)
- Conceito de Felipe: Regular.
Conclusão da Investigação: Os conceitos foram, respectivamente, Muito Bom e Regular.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A principal armadilha é calcular a porcentagem de Felipe de forma errada. Um candidato desatento poderia fazer 75% – 30% = 45% e classificar Felipe como “insatisfatório”. O erro é não perceber que os 30% são calculados sobre a quantidade de acertos de João (150), e não sobre o percentual total.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação resultou em João com 75% (Muito Bom) e Felipe com 52,5% (Regular).
- Expectativa: A alternativa correta deve ser “muito bom e regular”.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) muito bom e bom.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato classificou João corretamente, mas errou a classificação de Felipe, talvez por um erro de cálculo que o deixou na faixa “bom” (acima de 60%).
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. O desempenho de Felipe (52,5%) não alcança a faixa “bom”.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) muito bom e regular.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde perfeitamente aos conceitos que encontramos para João (muito bom) e Felipe (regular).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- C) muito bom e insatisfatório.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato cai na “Armadilha Clássica”, calculando o percentual de Felipe como 75% – 30% = 45%.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Interpretação da Porcentagem. A base do cálculo para a redução de Felipe era o número de acertos de João, não seu percentual.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) bom e regular.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato classificou Felipe corretamente, mas errou a de João. Ele pode não ter prestado atenção ao sinal ≤ na faixa “muito bom”.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na Leitura do Intervalo. A faixa “bom” é para porcentagens menores que 75. Como João acertou exatamente 75%, ele se enquadra na faixa seguinte, “muito bom”.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) bom e insatisfatório.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato errou a classificação de ambos.
- O “Diagnóstico do Erro”: Múltiplos Erros (Leitura de Intervalo e Interpretação de Porcentagem). Uma combinação dos erros das alternativas C e D.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta. Este caso é uma aula sobre a importância da leitura atenta em matemática: a diferença entre “30% a menos que a porcentagem de João” e “30% a menos que a quantidade de acertos de João” é a diferença entre a resposta errada e a certa.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Leia a base da porcentagem com cuidado, ou seu cálculo vai para a base errada.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de definir conceitos com base em faixas e intervalos é fundamental na Medicina, para diagnósticos baseados em exames de sangue. Um exame de glicemia, por exemplo, não dá um resultado de “saudável” ou “doente”. Ele dá um número. O médico, então, compara esse número com as faixas de referência:
- Abaixo de 99 mg/dL: Normal (“Excelente”).
- Entre 100 e 125 mg/dL: Pré-diabetes (“Regular”).
- Acima de 126 mg/dL: Diabetes (“Insatisfatório”).
A lógica de pegar um dado quantitativo (o número de acertos, o nível de glicose) e transformá-lo em uma classificação qualitativa (o conceito, o diagnóstico) é exatamente a mesma.