Três grandezas (I, II e III) se relacionam entre si. Os gráficos a seguir, formados por segmentos de reta, descrevem as relações de dependência existentes entre as grandezas I e II, e entre as grandezas II e III.
O valor máximo assumido pela grandeza III, quando a grandeza I varia de 1 a 3, é
A) 1,0.
B) 2,5.
C) 3,0.
D) 3,5.
E) 4,0.
Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Funções, Leitura e Interpretação de Gráficos)
- Tema/Objetivo Geral: Analisar a composição de duas funções dadas graficamente para determinar o valor máximo da função composta em um intervalo específico.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige um raciocínio em cascata: usar o primeiro gráfico para “traduzir” o intervalo da Grandeza I em um intervalo para a Grandeza II e, em seguida, usar o segundo gráfico para encontrar o valor máximo da Grandeza III nesse novo intervalo. A dificuldade está em rastrear essa dependência indireta e analisar o comportamento da segunda função dentro do intervalo transformado.
- Gabarito: B
- A alternativa está correta. Primeiro, determinamos o intervalo da Grandeza II correspondente ao intervalo [1, 3] da Grandeza I. No Gráfico 1, vemos que, para I de 1 a 3, a II vai de 1,5 a 3,5. Agora, procuramos o valor máximo da Grandeza III no Gráfico 2, mas apenas dentro do intervalo [1.5, 3.5] para a Grandeza II. Nesse trecho, a Grandeza III começa em 2,5 (quando II=1,5), cai para 1 (quando II=3) e depois sobe para 2 (quando II=3,5). O ponto mais alto (o valor máximo) nesse percurso é 2,5.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “A Grandeza III depende da Grandeza II, que por sua vez depende da Grandeza I. Sabendo disso, se a Grandeza I estiver passeando apenas no intervalo entre 1 e 3, qual foi o ‘ponto mais alto’ (o valor máximo) que a Grandeza III atingiu durante esse passeio?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine um termômetro (Grandeza III) dentro de um forno (Grandeza II), e o botão do forno (Grandeza I) que controla a temperatura. O Gráfico 1 nos mostra como a posição do botão (I) afeta a temperatura do forno (II). O Gráfico 2 nos mostra como a temperatura do forno (II) afeta o termômetro (III) — talvez seja um termômetro especial que sobe e desce de forma estranha. A questão nos pede: se girarmos o botão do forno apenas entre as posições 1 e 3, qual foi a temperatura máxima registrada pelo termômetro lá dentro?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- A Primeira Tradução: Vamos usar o Gráfico 1 para descobrir o que acontece com a “temperatura do forno” (Grandeza II) quando o “botão” (Grandeza I) está no intervalo.
- A Análise Final: Vamos pegar esse novo intervalo da Grandeza II e observar o comportamento do “termômetro” (Grandeza III) no Gráfico 2, apenas dentro desse intervalo.
- Identificar o Pico: Vamos encontrar o ponto mais alto que a Grandeza III atinge nesse percurso específico.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a melhor ferramenta é a Análise de Intervalos em Cascata.
RASTREAMENTO DAS GRANDEZAS
PASSO 1: Analisando o Gráfico 1 (Relação I → II)
- Intervalo de Interesse: A Grandeza I varia de 1 a 3.
- Leitura no Ponto I = 1: Localizamos I=1 no eixo X e subimos até a linha. Lemos o valor correspondente no eixo Y: a Grandeza II = 1,5.
- Leitura no Ponto I = 3: Localizamos I=3 no eixo X e subimos. Vemos que este ponto está na metade do segmento de reta que liga (I=2, II=3) e (I=4, II=4). Portanto, em I=3, a Grandeza II estará na metade do caminho entre 3 e 4, ou seja, Grandeza II = 3,5.
- Conclusão da Etapa 1: Quando a Grandeza I varia no intervalo [1, 3], a Grandeza II varia no intervalo [1.5, 3.5].
PASSO 2: Analisando o Gráfico 2 (Relação II → III)
- Novo Intervalo de Interesse: Agora, só nos importa o que acontece com a Grandeza III quando a Grandeza II está no intervalo [1.5, 3.5]. Vamos “recortar” o Gráfico 2.
- O Percurso da Grandeza III:
- Quando II = 1,5, o valor de III está na metade do caminho da reta que desce de (II=0, III=4) para (II=3, III=1). A queda total é de 3 unidades. Em II=1,5 (metade do caminho), terá caído 1,5 unidades. III = 4 – 1,5 = 2,5. O percurso começa em 2,5.
- Conforme II aumenta de 1,5 para 3, a Grandeza III cai de 2,5 até atingir o valor mínimo de 1.
- Conforme II aumenta de 3 para 3,5, a Grandeza III sobe de 1 até o valor de 2. (Pois em II=3, III=1 e em II=4, III=3. Na metade do caminho, III=2).
- O Trajeto Completo: Dentro do nosso intervalo de interesse, a Grandeza III fez o seguinte caminho: começou em 2,5, desceu até 1, e depois subiu até 2.
Conclusão Forense: Durante todo o percurso correspondente a I entre 1 e 3, o valor mais alto que a Grandeza III atingiu foi o seu ponto de partida: 2,5.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Nossa análise em cascata já resolveu o caso. A chave é a tradução de intervalos.
- Intervalo de I:
- Tradução para o intervalo de II usando o Gráfico 1: [1.5, 3.5]
- Análise do Gráfico 2 apenas dentro do intervalo II ∈ [1.5, 3.5].
- Nesse intervalo, a função III(II) tem um valor inicial de 2,5, um ponto de mínimo em 1 e um valor final em 2.
- O valor máximo de III nesse trecho é, portanto, 2,5.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora é a alternativa (E), 4,0. O candidato olha para o Gráfico 2, vê que o valor máximo que a Grandeza III atinge é 4, e marca essa opção. O erro é não respeitar a restrição do intervalo. O valor 4,0 só é atingido quando a Grandeza II é 0. Mas, para a Grandeza I estar entre 1 e 3, a Grandeza II nunca é 0. É preciso analisar o comportamento da Grandeza III apenas no “pedaço” do gráfico que nos interessa.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação mapeou o intervalo de I para II ([1.5, 3.5]) e, em seguida, encontrou o valor máximo de III nesse intervalo de II.
- Expectativa: O resultado deve ser 2,5.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 1,0.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato encontrou o valor mínimo, e não o máximo, da Grandeza III no intervalo de interesse.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão entre Máximo e Mínimo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 2,5.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde exatamente ao valor máximo que a Grandeza III atinge no intervalo II ∈ [1.5, 3.5].
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- C) 3,0.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter confundido os eixos ou os gráficos, talvez pegando o valor de II quando I=2. Ou olhou o ponto final do Gráfico 2 (quando II=4, III=3) e o associou ao intervalo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Leitura Incorreta de Gráfico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 3,5.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter encontrado o valor final do intervalo da Grandeza II (II=3,5) e o transferido para a resposta, confundindo as grandezas.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão entre as Grandezas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 4,0.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato cai na “Armadilha Clássica”.
- O “Diagnóstico do Erro”: Ignorar a Restrição do Intervalo. Pegou o valor máximo absoluto da Grandeza III, sem verificar se ele era atingível dentro do intervalo especificado para a Grandeza I.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta. Este caso é uma aula sobre funções compostas na prática, mostrando como a variação de uma grandeza pode ser rastreada através de uma cadeia de dependências.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para saber a temperatura máxima do termômetro, primeiro veja quais posições do botão do forno você pode usar.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de analisar uma variável em um intervalo restrito por outra é fundamental na Engenharia de Materiais, no estudo de diagramas de fase. Um diagrama de fase mostra o estado de uma substância (sólido, líquido, gasoso) dependendo da Temperatura (Grandeza I) e da Pressão (Grandeza II). Um engenheiro pode precisar garantir que um material permaneça sólido (Grandeza III) durante uma operação. Se ele sabe que a pressão no processo irá variar de 1 a 3 atmosferas, ele usa essa informação para “recortar” o diagrama de fase e descobrir qual é a temperatura máxima que o material pode atingir nesse intervalo de pressão sem derreter. A lógica de usar um intervalo para restringir a análise em outro gráfico é a mesma.