Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.
Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Progressão Geométrica – PG)
- Matemática (Potenciação)
- Interpretação de Sequências e Padrões
- Tema/Objetivo Geral: Analisar um processo de duplicação sucessiva para encontrar uma fórmula geral e aplicá-la para um termo distante (a 20ª etapa).
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a capacidade de identificar o padrão de uma progressão geométrica e, crucialmente, de derivar a fórmula do termo geral (aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹) a partir da descrição. O principal ponto de erro é a confusão com o expoente (n, n-1 ou n+1).
- Gabarito: A
- A alternativa está correta. O número de figuras em cada etapa forma uma Progressão Geométrica (PG) de termo inicial a₁ = 3 e razão q = 2. A fórmula do termo geral de uma PG é aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹. Para a 20ª etapa (n=20), temos a₂₀ = 3 × 2²⁰⁻¹ = 3 × 2¹⁹.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Uma criança começa com 3 emojis. A cada nova etapa, ela copia tudo o que tem e cola ao lado (ou seja, ela dobra a quantidade). Se ela fizer isso 20 vezes, com quantos emojis a mensagem final será enviada?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem 3 moedas. A cada minuto, um gênio aparece e dobra a quantidade de moedas que você tem.
- Minuto 1: 3 moedas.
- Minuto 2: 6 moedas.
- Minuto 3: 12 moedas.
A questão nos pede para descobrir quantas moedas você terá no minuto 20.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Analisar a Cena do Crime: Vamos listar o número de emojis nas primeiras etapas para encontrar o padrão.
- Identificar a “Arma do Crime”: Qual é a operação matemática que descreve a passagem de uma etapa para a outra?
- Formular a Lei do Padrão: Vamos criar uma fórmula geral para calcular o número de emojis em qualquer etapa n.
- Resolver o Caso: Vamos aplicar a fórmula para a 20ª etapa.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a melhor ferramenta é uma Tabela de Análise da Progressão Geométrica. Ela nos ajudará a “enxergar” a fórmula.
A ANATOMIA DO CRESCIMENTO EXPONENCIAL
| Etapa (n) | Descrição da Ação | Cálculo do Número de Figuras (aₙ) | Resultado (Fatorado) |
| 1 | Inseriu 3 figuras. | 3 | 3 × 1 = 3 × 2⁰ |
| 2 | Copiou as 3 e colou. | 3 + 3 = 6 | 3 × 2 = 3 × 2¹ |
| 3 | Copiou as 6 e colou. | 6 + 6 = 12 | 6 × 2 = (3 × 2) × 2 = 3 × 2² |
| 4 | Copiou as 12 e colou. | 12 + 12 = 24 | 12 × 2 = (3 × 2²) × 2 = 3 × 2³ |
| … | … | … | … |
| n | Copiou aₙ₋₁ e colou. | aₙ₋₁ × 2 | 3 × 2ⁿ⁻¹ |
Conclusão Forense: A tabela revela um padrão cristalino. O número de figuras na etapa n é sempre o número inicial (3) multiplicado por 2, elevado a uma potência que é uma unidade menor que o número da etapa (n-1). Essa é a fórmula do termo geral de uma Progressão Geométrica (PG).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Nossa tabela já nos deu a fórmula geral: aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹.
Agora, basta aplicar essa lei para resolver o caso da 20ª etapa.
Resolvendo para a 20ª Etapa (n=20):
- a₂₀ = 3 × 2²⁰⁻¹
- a₂₀ = 3 × 2¹⁹
Conclusão da Investigação: O total de figuras contidas na mensagem enviada (após a 20ª etapa) é 3 × 2¹⁹.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora é a alternativa (B), 3 × 2²⁰. O candidato pode pensar que, por ser a 20ª etapa, o expoente deve ser 20. O erro é não perceber que a duplicação (a multiplicação por 2) só começa a acontecer a partir da segunda etapa. Na primeira etapa, o expoente de 2 é zero (2⁰=1). Portanto, o expoente será sempre n-1, e não n.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação identificou uma PG de termo inicial 3 e razão 2. A fórmula para o 20º termo é a₁ × q¹⁹.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser 3 × 2¹⁹.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 3 × 2¹⁹
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde perfeitamente à fórmula do 20º termo da progressão geométrica que modela o problema.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- B) 3 × 2²⁰
- A “Narrativa do Erro”: O candidato cai na “Armadilha Clássica” do expoente.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro no Expoente. O candidato usou n em vez de n-1 no expoente da fórmula da PG.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 3 × 2²¹
- A “Narrativa do Erro”: O candidato não apenas errou o expoente, como usou n+1.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro no Expoente. Uma confusão ainda maior com a fórmula do termo geral.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 3 × 2²⁰ – 1
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter confundido a fórmula do termo geral com a fórmula da soma dos termos de uma PG, que envolve (qⁿ – 1).
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão de Fórmulas. A questão não pede a soma de todas as figuras de todas as etapas, mas sim o total na última etapa.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 3 × 2²⁰ – 3
- A “Narrativa do Erro”: Outra confusão com a fórmula da soma ou uma tentativa de “corrigir” a fórmula de alguma forma.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão de Fórmulas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa A é a correta. Este caso é uma demonstração do poder do crescimento exponencial: uma ação simples, como “copiar e colar”, quando repetida, leva a números astronomicamente grandes.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Na PG, o expoente é como um andar de elevador: para chegar ao 20º andar, você só precisa subir 19 lances a partir do primeiro.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio da Progressão Geométrica com razão 2 é a base da mitose, o processo de divisão celular em organismos multicelulares. Uma única célula se divide em duas, essas duas em quatro, quatro em oito, e assim por diante. Um embrião humano começa como uma única célula (o zigoto) e, após cerca de 47 ciclos de duplicação (2⁴⁷), atinge os trilhões de células de um adulto. A lógica do “copia e cola” da criança no aplicativo é a mesma lógica fundamental da construção da vida.