O arquiteto Renzo Piano exibiu a maquete da nova sede do Museu Whitney de Arte Americana, um prédio assimétrico que tem um vão aberto para a galeria principal, cuja medida da área é 1672 m².
Considere que a escala da maquete exibida é 1 : 200.
Época, n. 682, jun. 2011 (adaptado).
A medida da área do vão aberto nessa maquete, em centímetro quadrado, é
A) 4,18.
B) 8,36.
C) 41,80.
D) 83,60.
E) 418,00.
Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Escalas, Conversão de Unidades de Área)
- Matemática (Regra de Três)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a área de uma representação em maquete a partir da área real e da escala linear.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão tem duas armadilhas principais. A primeira é a conversão de unidades, de m² para cm². A segunda, e mais importante, é a aplicação correta da escala para uma área, que exige que a escala linear seja elevada ao quadrado.
- Gabarito: E
- A alternativa está correta. Primeiro, convertemos a área real para cm²: 1672 m² = 16.720.000 cm². A escala linear é 1 : 200. A escala de área é o quadrado disso: 1² : 200², ou 1 : 40.000. Isso significa que a área na maquete é 40.000 vezes menor que a área real. Portanto, Área da maquete = 16.720.000 / 40.000 = 418 cm².
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “A área real de uma galeria de museu é 1672 m². Uma maquete foi construída em uma escala de 1:200. Qual é a área dessa mesma galeria na maquete, em centímetros quadrados?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem uma foto (a maquete) de um campo de futebol (o prédio real). A “escala” da foto te diz que cada 1 centímetro na foto representa 200 centímetros (ou 2 metros) no campo real. A questão não pergunta o comprimento do campo na foto, mas sim a área dele. Você não pode simplesmente pegar a área real e dividir por 200. Como a área é comprimento × largura, você precisa dividir o comprimento real por 200 e a largura real por 200. O efeito final é que a área será dividida por 200 × 200.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Uniformizar as Unidades: Vamos primeiro converter a área real, que está em m², para cm², a unidade da resposta.
- Achar a Escala de Área: Vamos pegar a escala linear (1:200) e transformá-la em uma escala de área.
- Aplicar a Escala: Vamos usar a escala de área para calcular a área correspondente na maquete.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta principal é a Lei da Escala de Área.
DOSSIÊ: O CRIME DA ESCALA
- A PISTA 1: Escala Linear
- E_linear = 1 : 200
- Significado: 1 cm (maquete) = 200 cm (real).
- A PISTA 2: A Lei da Área
- Área é uma medida bidimensional (comprimento × largura).
- Portanto, a escala de área é o quadrado da escala linear.
- E_área = (E_linear)² = (1 : 200)² = 1² : 200²
- E_área = 1 : 40.000
- O SIGNIFICADO (A Chave do Caso):
- A escala de área 1 : 40.000 significa que:
- 1 cm² (na maquete) = 40.000 cm² (na realidade).
- Ou, de forma inversa, que a área na maquete é 40.000 vezes MENOR que a área na realidade.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos aplicar nossas ferramentas aos dados do problema.
1. Uniformizando as Unidades:
- Área Real = 1672 m²
- Sabemos que 1 m = 100 cm, então 1 m² = (100 cm)² = 10.000 cm².
- Área Real em cm² = 1672 × 10.000 = 16.720.000 cm².
2. Aplicando a Escala de Área:
- A área da maquete é 40.000 vezes menor que a área real.
- Área da Maquete = Área Real / 40.000
- Área da Maquete = 16.720.000 / 40.000
- Para facilitar, podemos cortar os quatro zeros do numerador e do denominador:
Área da Maquete = 1672 / 4 - Área da Maquete = 418 cm².
Conclusão da Investigação: A medida da área do vão aberto na maquete é de 418 cm².
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A principal armadilha é usar a escala linear (200) para dividir a área. Um candidato desatento poderia fazer 1672 / 200 = 8,36, o que leva à alternativa (B). O erro é esquecer que, para áreas, a escala deve ser elevada ao quadrado. Outra armadilha é errar a conversão de m² para cm², usando 100 em vez de 10.000.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação converteu a área real para cm² e a dividiu pelo fator de escala de área (200² = 40.000).
- Expectativa: O resultado esperado é 418 cm².
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 4,18.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter dividido a área real em m² (1672) pelo fator de escala de área (40.000), chegando a ~0,0418, e depois errado a conversão de unidades.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na Conversão de Unidades. Misturou as unidades durante o cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 8,36.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato cai na “Armadilha Clássica”.
- O “Diagnóstico do Erro”: Uso da Escala Linear em Área. Calculou Área Real / 200 = 1672 / 200 = 8,36. O erro foi não elevar a escala ao quadrado.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 41,80.
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de ordem de grandeza (um zero a menos). O candidato pode ter dividido 16.720.000 por 400.000 em vez de 40.000.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 83,60.
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de ordem de grandeza, provavelmente vindo da armadilha da alternativa B. O candidato pode ter feito 167200 / 2000, ou algo similar.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Unidades.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 418,00.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde exatamente ao resultado obtido ao se aplicar corretamente a conversão de unidades e a escala de área.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta. Este caso é uma lição crucial sobre escalas: as dimensões se comportam de maneiras diferentes. Se o comprimento diminui por um fator k, a área diminui por k² e o volume por k³.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Em uma foto, se você diminui o lado pela metade, a área não cai pela metade, cai para um quarto.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio da relação quadrática entre escala linear e área é fundamental na Biologia, na chamada Lei Quadrado-Cubo. Essa lei explica por que os animais não podem crescer indefinidamente. A força de um osso ou de um músculo depende de sua área de secção transversal (que cresce ao quadrado do tamanho). Já o peso do animal depende de seu volume (que cresce ao cubo do tamanho). Se um animal dobrasse de tamanho, seu peso ficaria 8 vezes maior (2³), mas a força de seus ossos ficaria apenas 4 vezes maior (2²). Em algum ponto, os ossos não aguentariam o peso do próprio corpo. A mesma matemática que usamos para calcular a área da maquete explica por que não existem formigas do tamanho de elefantes.