A química nuclear é uma importante ferramenta na produção de substâncias utilizadas na área da saúde humana. A radiação emitida pelo cobalto-60 é utilizada na medicina como ferramenta de diagnóstico e no tratamento do câncer. No entanto, esse radioisótopo tem um tempo de armazenamento limitado, pois seu tempo de meia-vida é de 5,3 anos. Considere um frasco com uma amostra contendo 2,00 mg de cobalto-60, armazenado durante um período de 26,5 anos.
A massa de cobalto-60, em miligrama, que restará ao final desse tempo é mais próxima de
A) 2,00 mg.
B) 1,00 mg.
C) 0,40 mg.
D) 0,13 mg.
E) 0,06 mg.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Química Nuclear (Decaimento Radioativo, Meia-vida)
- Matemática Básica (Divisão, Potenciação)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a massa remanescente de um isótopo radioativo após um determinado tempo, aplicando o conceito de meia-vida.
- Nível da Questão: Fácil.
- A questão é um exemplo clássico e direto de aplicação do conceito de meia-vida. Os números fornecidos (tempo total e tempo de meia-vida) resultam em um número inteiro de meias-vidas, simplificando o cálculo e tornando-o uma sequência de divisões por 2.
- Gabarito: E
- A alternativa está correta porque o tempo total de 26,5 anos corresponde a exatamente 5 períodos de meia-vida (26,5 / 5,3 = 5). Portanto, a massa inicial de 2,00 mg deve ser dividida por 2, cinco vezes consecutivas, resultando em 0,0625 mg.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Se começamos com 2 mg de cobalto-60 e sabemos que a cada 5,3 anos metade dele desaparece, quanto sobrará depois de 26,5 anos?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no cobalto-60 como uma pizza. A “meia-vida” é o tempo que você leva para comer metade da pizza que ainda está na caixa. Você começa com uma pizza grande (2 mg). Depois de 5,3 anos, você come metade, e sobra meia pizza (1 mg). Depois de mais 5,3 anos, você come metade do que sobrou, e sobra um quarto de pizza (0,5 mg), e assim por diante. A questão nos pede para calcular o tamanho da fatia que sobrará no final.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Decifrar o Cronômetro: Primeiro, vamos descobrir quantos “períodos de meia-vida” cabem dentro do tempo total de armazenamento.
- Executar o Desaparecimento: Vamos aplicar a regra da “pizza” (dividir a massa por 2) para cada período de meia-vida que calculamos.
- Apresentar a Evidência Final: Encontraremos a massa que resta ao final de todo o processo.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta crucial é o conceito de meia-vida. Vamos abrir um dossiê para ela.
DOSSIÊ: O CRONÔMETRO ATÔMICO (A MEIA-VIDA)
- Definição: É o tempo necessário para que metade da quantidade de um material radioativo se desintegre (se transforme em outra coisa).
- Modus Operandi (A Pista Chave): O decaimento é exponencial, não linear. A cada meia-vida que passa, a massa restante é sempre dividida por 2.
- Fórmula da Operação:
- Massa Final = Massa Inicial / 2ⁿ
- Onde “n” é o número de meias-vidas que se passaram.
- Como encontrar “n”?
- n = Tempo Total / Tempo de Meia-vida
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos aplicar as ferramentas do nosso dossiê ao caso do cobalto-60.
1. Decifrando o Cronômetro (Calculando “n”):
- Tempo Total = 26,5 anos
- Tempo de Meia-vida = 5,3 anos
- n = 26,5 / 5,3 = 5
- Conclusão da Investigação: Passaram-se exatamente 5 períodos de meia-vida.
2. Executando o Desaparecimento (Aplicando a Regra da “Pizza”):
- Início (Tempo 0): 2,00 mg
- Após 1ª meia-vida (5,3 anos): 2,00 mg / 2 = 1,00 mg
- Após 2ª meia-vida (10,6 anos): 1,00 mg / 2 = 0,50 mg
- Após 3ª meia-vida (15,9 anos): 0,50 mg / 2 = 0,25 mg
- Após 4ª meia-vida (21,2 anos): 0,25 mg / 2 = 0,125 mg
- Após 5ª meia-vida (26,5 anos): 0,125 mg / 2 = 0,0625 mg
3. Evidência Final: Ao final de 26,5 anos, a massa restante de cobalto-60 é de 0,0625 mg.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Um erro que poderia ocorrer aqui é o pensamento linear. Um candidato desatento poderia pensar: “Se em 5,3 anos a massa cai pela metade (perde 1 mg), então em 26,5 anos (5 vezes mais tempo), ela vai perder 5 x 1 mg = 5 mg”. Isso levaria a uma massa final negativa, o que é impossível. O erro é não entender que a cada passo, a quantidade que decai é metade do que sobrou, e não metade do valor inicial.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação provou que 26,5 anos correspondem a 5 meias-vidas. Aplicando a divisão da massa por 2, cinco vezes consecutivas, a partir de 2,00 mg, chegamos a um valor final de 0,0625 mg.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser o valor mais próximo de 0,0625 mg.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 2,00 mg.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato ignora completamente o conceito de decaimento radioativo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Tema. Esta seria a massa se nenhuma meia-vida tivesse passado.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 1,00 mg.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou o resultado para apenas uma meia-vida, e não para cinco.
- O “Diagnóstico do Erro”: Cálculo Incompleto. Parou a investigação na primeira etapa do decaimento.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 0,40 mg.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter dividido a massa inicial pelo número de meias-vidas (2,00 mg / 5 = 0,40 mg).
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão Conceitual (Linear vs. Exponencial). Aplicou uma lógica de divisão linear em vez de um decaimento exponencial.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 0,13 mg.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato provavelmente parou o cálculo uma etapa antes do final.
- O “Diagnóstico do Erro”: Cálculo Incompleto. O valor 0,13 mg é muito próximo de 0,125 mg, que é a massa restante após quatro meias-vidas. O candidato pode ter errado a conta de 26,5 / 5,3 ou simplesmente parou a divisão cedo demais.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 0,06 mg.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. O valor 0,06 mg é a aproximação mais próxima para o resultado exato da nossa investigação, que foi de 0,0625 mg.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta. Este caso é uma demonstração clássica do poder previsível do decaimento exponencial, uma das leis mais fundamentais da física nuclear.
Resumo-flash (A Imagem Mental): A meia-vida é como comer metade da pizza que sobrou a cada hora: a fatia fica cada vez menor, mas tecnicamente nunca acaba.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo conceito de meia-vida é fundamental na Farmacologia, a ciência que estuda os medicamentos. A “meia-vida de um fármaco” é o tempo que o corpo leva para eliminar metade da dose daquele remédio da corrente sanguínea. Essa informação é crucial para os médicos determinarem a posologia (de quanto em quanto tempo o paciente deve tomar o remédio). Um medicamento com meia-vida curta (como a penicilina, ~1 hora) precisa ser administrado com mais frequência (de 6 em 6 horas, por exemplo) para manter sua concentração terapêutica no sangue. Já um com meia-vida longa (como a amiodarona, ~58 dias) pode ser tomado uma vez ao dia. A lógica é a mesma do cobalto-60: prever quanto “resta” depois de um certo tempo.