A laje de um depósito de bebidas tem 50 m² de área útil de armazenamento e foi projetada para suportar pressões de até 10⁴ Pa. O gerente do estabelecimento pretende armazenar um produto cuja densidade é 1 250 kg/m³. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s².
A altura máxima, em metro, de empilhamento do produto que essa laje é capaz de suportar é
A) 0,16 m.
B) 0,50 m.
C) 0,80 m.
D) 1,60 m.
E) 8,00 m.
Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Física (Mecânica: Pressão, Força, Peso)
- Física (Hidrostática: Densidade)
- Geometria (Cálculo de Volume)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a altura máxima de uma coluna de material com base na pressão máxima suportada pela superfície de apoio e na densidade do material.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a aplicação sequencial de múltiplas fórmulas da física (Pressão = Força/Área, Força = massa × gravidade, Densidade = massa/volume). O candidato precisa navegar por essa cadeia de cálculos sem se perder. Uma armadilha é a informação da “área útil de 50 m²”, que pode levar a um caminho de cálculo mais longo e complexo do que o necessário.
- Gabarito: C
- A alternativa está correta. A pressão exercida por uma coluna de fluido é dada por P = d × g × h. Isolando a altura (h), temos h = P / (d × g). Substituindo os valores P = 10⁴ Pa, d = 1250 kg/m ³ e g = 10 m/s², encontramos h = 10000 / (1250 × 10) = 0,80 m.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Uma laje aguenta uma certa pressão máxima. Vamos empilhar um líquido pesado em cima dela. Qual é a altura máxima que a pilha desse líquido pode ter antes que a laje quebre?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que a laje é uma pessoa e a “pressão máxima” é o peso máximo que ela consegue aguentar nos ombros. O “produto” são livros muito pesados. A pergunta é: quantos livros (altura da pilha) podemos colocar na cabeça dessa pessoa antes que ela desabe, sabendo o peso de cada livro (densidade)? Nossa tarefa é calcular essa altura máxima.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
Existem duas rotas para resolver este crime, uma longa e uma curta. Como detetives eficientes, vamos explorar a rota curta e elegante.
- Identificar a Ferramenta Certa: Vamos perceber que a pressão exercida por uma coluna de qualquer substância (sólida ou fluida) pode ser calculada diretamente com uma fórmula da hidrostática.
- Mapear as Evidências: Vamos listar todos os dados fornecidos pelo problema.
- Aplicar a Fórmula Direta: Vamos substituir os valores na fórmula e calcular a altura (h) diretamente.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta mais poderosa é a Equação da Pressão de uma Coluna. Ela nos permite “pular” etapas intermediárias como o cálculo da força e do volume total.
DOSSIÊ: A EQUAÇÃO DA PRESSÃO DE UMA COLUNA
- A Lei: A pressão (P) exercida pela base de uma coluna de uma substância é igual ao produto de sua densidade (d), da aceleração da gravidade (g) e da altura da coluna (h).
- A Fórmula: P = d × g × h
- Por que funciona?
- Pressão é Força / Área (P = F/A).
- A Força é o Peso da coluna (F = m × g).
- A massa da coluna é Densidade × Volume (m = d × V).
- O Volume da coluna é Área da Base × Altura (V = A × h).
- Juntando tudo: P = (d × A × h × g) / A.
- Cortando a Área (A) de cima e de baixo, chegamos à fórmula simplificada: P = d × g × h.
Conclusão Forense: Esta fórmula é nossa arma secreta. Ela nos mostra que, para uma dada substância, a pressão depende apenas da altura da pilha, e não da área total da base. A informação de “50 m²” é uma distração!
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos aplicar nossa fórmula secreta ao caso.
1. Mapeando as Evidências:
- Pressão máxima (P) = 10⁴ Pa = 10.000 Pa (ou 10.000 N/m²)
- Densidade do produto (d) = 1.250 kg/m ³
- Aceleração da gravidade (g) = 10 m/s²
- Altura máxima (h) = ?
2. Aplicando a Fórmula e Resolvendo o Caso:
- A fórmula é: P = d × g × h
- Queremos encontrar a altura h, então vamos isolá-la:
h = P / (d × g) - Agora, substituímos os valores:
h = 10.000 / (1.250 × 10)
h = 10.000 / 12.500 - Simplificando a fração (podemos cortar dois zeros):
h = 100 / 125 - Dividindo ambos por 25 para simplificar ainda mais:
h = 4 / 5 - h = 0,8 ou 0,80 m
Conclusão da Investigação: A altura máxima de empilhamento que a laje pode suportar é de 0,80 metros.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A principal armadilha é a informação da “área útil de 50 m²”. Um candidato pode se sentir obrigado a usar esse número e entrar em um caminho de cálculo muito mais longo:
- Calcular a Força máxima: F = P × A = 10.000 × 50 = 500.000 N.
- Calcular a Massa máxima: m = F / g = 500.000 / 10 = 50.000 kg.
- Calcular o Volume máximo: V = m / d = 50.000 / 1.250 = 40 m³.
- Calcular a Altura máxima: h = V / A = 40 / 50 = 0,8 m.
O resultado é o mesmo, mas o caminho é mais longo e com mais chances de erro. A elegância da física está em encontrar o caminho mais curto.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Usando a fórmula da pressão de uma coluna, P = dgh, e isolando a altura h, chegamos diretamente ao resultado de 0,80 m, mostrando que a área da laje era uma informação irrelevante para o cálculo final da altura.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser 0,80 m.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora realizar a autópsia de cada um dos valores suspeitos.
- A) 0,16 m
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter cometido um erro de cálculo, possivelmente na divisão final, ou invertido alguma operação. Por exemplo, 1/ ( (1250*10) / 10000 ) = 1/1.25 = 0.8 não… talvez uma divisão por 5 em algum ponto (4/5)/5.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. Não há um caminho lógico claro que leve a este resultado com os dados fornecidos. A resposta correta é 10000 / 12500 = 0,8. Este valor é 1/5 do correto, sugerindo uma multiplicação ou divisão por 5 em algum momento indevido.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 0,50 m
- A “Narrativa do Erro”: Outro erro de cálculo. O candidato pode ter arredondado valores de forma grosseira durante o processo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. Este valor não corresponde a uma aplicação correta das fórmulas. Pode ser resultado de uma confusão na hora de simplificar a fração 100 / 125, talvez pensando que se aproxima de 1/2.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 0,80 m
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde perfeitamente ao resultado h = P / (d × g) = 10.000 / 12.500 = 0,8. É a resposta exata da nossa investigação.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) 1,60 m
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de cálculo, provavelmente multiplicando o resultado correto por 2.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. O valor é exatamente o dobro do correto (0,80 m × 2 = 1,60 m). Isso pode ter acontecido por um erro ao manipular a fórmula, talvez dividindo por 10 e multiplicando por 2 em vez de dividir por 10 e dividir por 1,25.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 8,00 m
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de ordem de grandeza, provavelmente na manipulação dos zeros ou da vírgula decimal.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo (Ordem de Grandeza). O valor é exatamente dez vezes maior que o correto. Isso ocorre se o candidato, por engano, calcular h = (P × g) / d = (10.000 × 10) / 1.250 = 100.000 / 1.250 = 80 (e depois errar a vírgula), ou calcular 10.000 / 1.250 = 8. É um erro comum na manipulação da fórmula ou na divisão final.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa C é a correta. Este caso nos ensina uma lição contra-intuitiva e poderosa da física: a pressão no fundo de um recipiente depende apenas da altura do fluido, e não da sua largura ou do seu volume total.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para a pressão no fundo, não importa se é uma piscina olímpica ou um canudo de refrigerante; o que importa é a altura da água.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de que a pressão depende da altura (P = dgh) é a base do funcionamento de um barômetro de mercúrio, usado para medir a pressão atmosférica. A pressão do ar sobre a superfície do mercúrio em um recipiente equilibra o peso da coluna de mercúrio dentro de um tubo de vidro. Ao medir a altura dessa coluna (tradicionalmente em milímetros de mercúrio, mmHg), podemos determinar a pressão atmosférica. É o mesmo princípio da nossa questão, mas invertido: em vez de usar uma pressão conhecida para achar a altura, usamos uma altura conhecida para achar a pressão.