No entorno de uma lagoa circular, cujo raio mede 1 km, há uma ciclovia. Devido aos frequentes roubos de bicicleta, a prefeitura planeja alocar policiais em posições estratégicas para patrulhar essa ciclovia, de forma a torná-la totalmente protegida. Um ponto da ciclovia é considerado protegido se houver pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto, posicionado sobre a ciclovia. A figura ilustra um ponto P sobre a ciclovia, que estará protegido se houver pelo menos um policial posicionado sobre a região de cor cinza escuro.
Desconsidere a largura da pista da ciclovia e utilize 3 como aproximação para π.
Nessas condições, a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para torná-la protegida é
A) 4.
B) 8.
C) 15.
D) 30.
E) 60.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Cálculo de Perímetro/Circunferência)
- Raciocínio Lógico (Divisão e Proporção)
- Interpretação de Texto e Imagem
Tema/Objetivo Geral: Calcular a quantidade mínima de unidades (policiais) necessária para cobrir uma extensão total (ciclovia), com base na área de cobertura de cada unidade.
Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é classificada como média, pois sua simplicidade matemática esconde uma armadilha de interpretação brutal. O cálculo em si é fácil, mas a questão testa ferozmente a atenção do candidato ao definir o “alcance” de um policial. Um leitor apressado usará o número errado e cairá diretamente em uma das alternativas incorretas, que foi colocada ali exatamente para esse fim.
Gabarito: C) 15.
- Explicação Resumida: Esta é a resposta correta porque o perímetro total da ciclovia é de 6.000 metros. A armadilha está em perceber que cada policial cobre um total de 400 metros (200m para um lado e 200m para o outro). Ao dividir o total pelo alcance real de cada um (6000 / 400), chegamos ao número mínimo de 15 policiais.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Falando a real, a questão quer saber o seguinte: “Qual o menor número de guardas que eu preciso para vigiar uma pista de corrida circular GIGANTE, se cada guarda consegue ficar de olho em 200 metros de pista à sua frente e 200 metros de pista às suas costas?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): O verdadeiro desafio aqui é pensar como um instalador de Wi-Fi. Imagine que você precisa cobrir um corredor circular de um hotel com sinal de internet. Cada roteador que você instala tem um alcance de 200 metros para a direita e 200 metros para a esquerda. A pergunta não é qual o alcance para um lado, mas sim qual a “área total” que um único roteador consegue cobrir. Se você não calcular essa área total, vai comprar o dobro de roteadores que precisa e gastar dinheiro à toa! Nossa missão é descobrir a cobertura real de cada “roteador” (policial) para não escalar policiais a mais.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nossa investigação será direta e sem rodeios:
- Primeiro, vamos calcular o tamanho total da “encrenca”: o comprimento completo da ciclovia.
- Segundo, vamos desvendar a pista mais importante: qual a distância real que um único policial consegue proteger.
- Por fim, vamos fazer uma conta simples de divisão: dividir o tamanho total da ciclovia pela cobertura de cada policial para achar quantos deles são necessários.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Beleza, para não cair em nenhuma cilada, precisamos analisar as pistas que o enunciado nos deu. Vamos criar um dossiê para cada uma delas.
Dossiê de Investigação: As Pistas do Crime Geométrico
- Pista 1: O Tamanho da Ciclovia
- O que é isso, pelo amor de Deus? A ciclovia está no entorno de uma lagoa circular. Para saber o comprimento dela, a gente precisa calcular o perímetro (ou circunferência) desse círculo.
- A Ferramenta: A fórmula para a circunferência é C = 2 . π . r.
- Analisando as Provas:
- r (raio) = 1 km.
- π (pi) = a questão mandou usar 3.
- Conclusão Parcial: Com isso, já conseguimos calcular o comprimento total. Mas se liga na unidade de medida! O raio está em km, mas o alcance do policial está em metros. Precisamos falar a mesma língua.
- Pista 2: O Alcance REAL de um Policial
- O que é isso, pelo amor de Deus? É a parte mais traiçoeira do problema. O texto e a imagem dizem que um ponto P está protegido se houver um policial “a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto”.
- A Pista de Ouro na Imagem: A imagem é a chave! Ela mostra o policial no centro e uma área cinza que se estende por 200 m para um lado E 200 m para o outro.
- Conclusão BRUTAL: O alcance total, a “área de cobertura” de um único policial não é 200 metros. É o dobro disso! Ele cobre 200 m (para um lado) + 200 m (para o outro) = 400 metros de ciclovia. Essa é a informação que resolve o caso.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Show de bola! Com as pistas decodificadas, vamos executar nosso plano e solucionar o mistério.
Fase 1: Calculando o comprimento total da ciclovia.
- Primeiro, vamos converter o raio para metros, pra não dar B.O.: 1 km = 1000 metros.
- Agora, jogamos na fórmula: C = 2 . π . r
- C = 2 * 3 * 1000
- C = 6.000 metros.
Essa é a distância total que precisa ser vigiada.
Fase 2: Usando o alcance REAL.
- Como vimos no nosso dossiê, cada policial dá conta de um trecho de 400 metros.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! É aqui que o detetive amador cai. O cérebro lê “200 m” no enunciado e fica fixado nesse número. A pessoa, na pressa, faz a conta: 6.000 m / 200 m = 30. E o que acontece? Ela encontra a alternativa D) 30 e marca com um sorriso no rosto, sem perceber que acabou de cair na armadilha mais antiga do mundo das questões. O examinador colocou a alternativa “30” de propósito, sabendo que muita gente cometeria esse erro de interpretação. Foco na cobertura TOTAL!
Fase 3: O cálculo final e correto.
- Agora é só dividir o total pela parte que cada um cobre.
- Número de Policiais = (Comprimento Total da Ciclovia) / (Cobertura por Policial)
- Número de Policiais = 6.000 / 400
- Número de Policiais = 15.
Bingo! Encontramos o número exato.
A Bússola (O Veredito):
- Síntese do raciocínio: O perímetro da pista é 6.000 m. A cobertura efetiva de cada policial é de 400 m. A divisão do primeiro pelo segundo nos dá o número mínimo de policiais. Simples e direto, depois que se desarma a armadilha.
- Expectativa: A resposta correta tem que ser, sem sombra de dúvida, o número 15.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora realizar a autópsia de cada alternativa suspeita, individualmente.
A) 4.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato se perdeu completamente no cálculo do perímetro. Para chegar a um número tão baixo, ele teria que ter calculado um comprimento de pista de apenas 1.600 metros (1600 / 400 = 4), o que não tem nenhuma relação com os dados fornecidos.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo Fundamental.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 8.
- A “Narrativa do Erro”: Este é um erro bastante plausível. O candidato provavelmente se confundiu na fórmula do perímetro, esquecendo o “2” e calculando C = π * r. Isso resultaria em um perímetro de 3 * 1000 = 3000 metros. Ao dividir 3000 pela cobertura correta de 400 metros, ele encontraria 7,5, que arredondaria para 8.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Fórmula (Omissão de Termo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 15.
- Análise de Correspondência: É essa! Bateu perfeitamente com a nossa investigação cuidadosa, que desarmou a armadilha da interpretação e usou os números corretos (Perímetro de 6000 m e cobertura de 400 m).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 30.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato caiu como um patinho na armadilha clássica. Ele calculou o perímetro corretamente (6.000 m), mas dividiu pelo alcance parcial (200 m) em vez do alcance total (400 m).
- O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (usar metade da informação disponível).
- Conclusão: ⚠️ A armadilha clássica!
E) 60.
- A “Narrativa do Erro”: Este erro é o resultado de uma combinação de falhas. O candidato pode ter caído na armadilha da alternativa D (dividindo 6000 por 200, achando 30) e, em um ato de confusão, multiplicado o resultado por 2 por algum motivo, talvez por causa do “2” da fórmula do perímetro.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Múltiplas Etapas (Combinação de erros).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: E o caso está oficialmente encerrado. A resposta é C) 15. A lição aqui é brutalmente clara: em qualquer problema, a vitória não está só em saber as fórmulas, mas em ler cada detalhe da cena do crime para entender o que realmente está sendo perguntado.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Pista circular? Descubra o alcance TOTAL do guarda, não só metade, e evite escalar o dobro da equipe!
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Pensa que isso é só sobre policiais numa ciclovia? Que nada! Esse é um princípio fundamental em logística e telecomunicações, conhecido como “problema de cobertura”. Empresas como a Amazon, ao planejar centros de distribuição, calculam o “raio de entrega” de cada centro para garantir que toda uma região seja coberta com o mínimo de sobreposição e o menor número de centros. Da mesma forma, empresas de telefonia celular posicionam suas antenas (as ERBs) com base no “raio de cobertura” de cada uma, para garantir que você tenha sinal contínuo ao longo de uma estrada. É a mesma matemática, aplicada para entregar pacotes e sinal de 5G em vez de segurança.