Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.
Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
A) 9
B) 8
C) 6
D) 4
E) 3
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Espacial (Propriedades de Sólidos: Prismas e Pirâmides)
- Raciocínio Lógico-Visual (Visualização 3D)
- Interpretação de Texto
Tema/Objetivo Geral:
Identificar e quantificar os conjuntos de faces congruentes em um poliedro composto para determinar o número de cores distintas necessárias para a pintura.
Nível da Questão:
- Difícil. – A questão é classificada como difícil por múltiplas razões. Ela exige que o candidato visualize um objeto 3D complexo descrito apenas em texto; conheça as propriedades específicas e os nomes das faces de um prisma regular reto e de um tronco de pirâmide; aplique rigorosamente o conceito de congruência (mesma forma e mesmo tamanho); e desconstrua mentalmente o objeto em seus “grupos” de faces únicas. É um teste profundo de abstração geométrica.
Gabarito:
- D) 4. – Esta é a resposta correta porque, ao analisar a superfície do protótipo, identificamos exatamente quatro conjuntos distintos de faces congruentes: 1) a base hexagonal inferior, 2) as seis faces laterais retangulares do prisma, 3) as seis faces laterais trapezoidais do tronco de pirâmide, e 4) a base hexagonal superior (menor). Cada conjunto exige uma cor única.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Em bom português, a missão é: “Temos um objeto 3D complexo, feito da colagem de dois blocos. A regra de pintura é simples: se as faces são ‘gêmeas idênticas’ (mesmo formato e tamanho), elas devem ter a mesma cor. Se não são, precisam de cores diferentes. Quantas latas de tinta de cores distintas vamos precisar no total?”
Simplificação Radical (A Analogia Central):
O verdadeiro desafio aqui é a abstração. Então, vamos tornar isso concreto. Pense no protótipo como uma torre de LEGO que você construiu. A regra de pintura é: todas as pecinhas que são exatamente do mesmo molde (ex: todas as retangulares 2×4) serão pintadas de azul. Todas as pecinhas de outro molde (ex: todas as de rampa) serão pintadas de amarelo. O desafio não é contar o total de peças, mas sim olhar para a torre montada e descobrir quantos “tipos de peças” diferentes foram usados na construção da superfície externa. Cada “tipo de peça” é um grupo de faces congruentes.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
Nossa investigação será uma dissecação geométrica completa, guiada por evidências visuais:
- Analisar as “Peças do Kit”: Vamos usar a imagem fornecida como um “catálogo de peças”, identificando cada tipo de face que compõe o protótipo.
- Aplicar a Regra da Pintura: Usando o catálogo, vamos “pintar” cada grupo de faces idênticas, explicando por que elas formam uma família única.
- Contar as Cores: Ao final do processo, contaremos quantos grupos de cores distintos foram necessários para pintar toda a superfície.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Antes de mergulharmos na imagem, vamos fazer um pit stop rápido para afiar nossas ferramentas. Existem algumas palavras-chave na geometria que, se a gente não dominar, a questão vira um monstro. Mas se a gente entende, ela vira um quebra-cabeça divertido. Vamos criar nosso “Dossiê de Conceitos” do detetive.
Dossiê de Conceitos: A Linguagem Secreta da Geometria
- Congruente: Esta é a palavra mais importante de toda a questão. Pensa nela como “gêmeos idênticos”. Para duas peças serem congruentes, elas precisam de duas coisas, sem exceção: mesma forma e mesmo tamanho. Uma nota de R$50 e uma de R$20 têm a mesma forma (retângulo), mas não o mesmo tamanho (valor e dimensões). Portanto, não são congruentes. É essa a lógica que vai nos salvar da maior armadilha.
- Base: Pensa na base como o “chão” ou o “teto” de um sólido. É a face que geralmente dá o nome a ele. Se a base é um hexágono, chamamos de prisma/pirâmide hexagonal. É a “fundação” da forma.
- Aresta: Sabe a “quina” de uma caixa? A linha exata onde duas paredes (faces) se encontram? Isso é uma aresta. É o “esqueleto” do sólido.
- Paralelo: Pensa nos trilhos de um trem. Eles seguem sempre na mesma direção, mantendo a mesma distância, e nunca, jamais, se encontram. No nosso protótipo, o “teto” (a base menor do tronco) é paralelo ao “chão” (a base maior do prisma).
Ok, agora que temos nosso vocabulário afiado, estamos prontos para analisar a evidência principal sem medo.
Descrição da Imagem: Um catálogo visual das quatro formas geométricas planas e distintas que compõem a superfície do protótipo. Da esquerda para a direita: um hexágono grande azul (Base do Prisma), um retângulo verde (Face Lateral do Prisma), um trapézio amarelo (Face Lateral do Tronco) e um hexágono pequeno vermelho (Topo do Tronco).
Esta imagem é a chave de tudo, meu caro detetive. Ela transforma o problema de imaginação em um simples exercício de inventário. Vamos analisar cada “peça” do nosso kit usando os conceitos que acabamos de revisar:
- A Peça Azul (Hexágono Grande): Esta é a Base do nosso protótipo. É a única face com esta forma e tamanho.
- A Peça Verde (Retângulo): Estas são as faces laterais do prisma. O enunciado garante que as 6 são congruentes entre si.
- A Peça Amarela (Trapézio): As faces laterais do tronco. Da mesma forma, as 6 são congruentes entre si.
- A Peça Vermelha (Hexágono Pequeno): Esta é a “outra base”, o topo. Ela é paralela à base azul, mas, como a imagem mostra, não é congruente a ela por ser menor.
Com este catálogo e nosso vocabulário dominado, a pintura no próximo passo vai ser moleza.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Beleza! Com nosso “catálogo de peças” na mão, a parte da abstração acabou. Agora é como se a gente estivesse na oficina de pintura, com o protótipo na nossa frente e a imagem servindo como nosso manual de instruções. A missão é simples: olhar para a imagem, pegar uma peça de cada vez e decidir qual cor usar. Vamos nessa, camada por camada, construindo a lógica juntos. Pensa comigo.
1. A Fundação (A Primeira Cor):
Por onde a gente começa qualquer construção? Pela base, claro. Olha lá no nosso catálogo. Qual peça forma a base do protótipo, a parte que estaria tocando a mesa? É o Hexágono Grande Azul. Agora, a pergunta crucial que você tem que se fazer é: “Existe alguma outra peça exatamente igual a essa na superfície da nossa torre?” Não, né? A outra peça hexagonal, a vermelha, é claramente menor. Então, essa base azul é única. Ela forma, sozinha, o nosso primeiro grupo de pintura.
- Veredito: Missão simples. Pegamos a primeira lata de tinta. COR 1 (Azul).
2. As Paredes do Primeiro Andar (A Segunda Cor):
Show, base pintada. Vamos subir um nível na nossa torre. Quais são as paredes que sobem retinhas a partir da base? Foca agora na Peça Retangular Verde do nosso catálogo. O enunciado nos deu uma pista de ouro: o prisma é “regular reto”. Sabe o que isso significa na prática, pra nossa pintura? Que as 6 paredes são retângulos e, mais importante, são todos “gêmeos idênticos”, perfeitamente congruentes. E qual é a regra da questão? Faces congruentes = mesma cor.
- Veredito: Se são todos gêmeos, todos recebem a mesma cor. Essa cor tem que ser diferente do azul da base, claro, porque um retângulo (a peça verde) obviamente não é congruente a um hexágono (a peça azul). Então, abrimos a segunda lata de tinta. COR 2 (Verde).
3. As Paredes do Segundo Andar (A Terceira Cor):
Continuando a nossa escalada, chegamos na parte de cima da torre, nas paredes inclinadas. Agora é a vez da Peça Trapezoidal Amarela. A lógica aqui é exatamente a mesma de antes. O enunciado também disse que o tronco de pirâmide é “regular”. Isso é a nossa garantia de que as 6 paredes inclinadas são trapézios isósceles e, de novo, são todos “gêmeos idênticos” entre si. Olhando para o nosso catálogo, fica óbvio que essa peça amarela é uma nova família. Não é um hexágono, não é um retângulo. É um tipo novo de peça.
- Veredito: Nova família de peças, nova cor. Pega a terceira lata de tinta. COR 3 (Amarela).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! É aqui que a questão te testa de verdade, meu amigo. A voz da tentação vai sussurrar no seu ouvido: “Ué, mas a base azul também não é um hexágono? Então o topo vermelho não deveria ter a mesma cor azul?”. NÃO! E a imagem é a nossa prova do crime, a nossa testemunha ocular. Lembra da regra de ouro que define a questão? Congruência = mesma forma e mesmo tamanho. Pense numa camiseta P e numa camiseta G. Elas têm a mesma forma, mas não são do mesmo tamanho, não são congruentes. O nosso catálogo visual mostra isso de forma irrefutável: o hexágono azul é a camiseta G, o hexágono vermelho é a P. São famílias diferentes!
4. O Telhado (A Quarta e Última Cor):
Com a armadilha desarmada, o final fica fácil. Chegamos ao topo. Qual peça forma o “telhado” da nossa torre? Aponta o dedo lá na imagem: é o Hexágono Pequeno Vermelho. Como acabamos de provar, ele não é congruente com a base grande azul. E obviamente não é congruente com os retângulos verdes ou com os trapézios amarelos. Ele é o último tipo de peça que faltava, o líder da quarta e última família de faces.
- Veredito: Se é um grupo novo, precisa de uma cor nova e exclusiva. Pegamos a quarta e última lata de tinta. COR 4 (Vermelha).
A Bússola (O Veredito):
- Síntese do raciocínio: Saca só o resumo da nossa pintura, olhando para o catálogo: a gente usou azul para a peça da base grande, verde para as peças retangulares, amarelo para as peças trapezoidais e vermelho para a peça do topo pequeno. Contamos quatro “tipos de peça” distintos. Quatro grupos, quatro cores. Fim de papo.
- Expectativa: A resposta correta TEM que ser 4. A nossa análise visual, baseada na imagem, não deixa nenhuma margem para dúvida.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora dissecar os suspeitos, um por um.
A) 9
- A “Narrativa do Erro”: O candidato não entendeu a regra de “agrupar faces congruentes”. Ele provavelmente tentou contar as faces de forma individual, talvez somando a base (1), os 6 retângulos (+6) e depois se perdendo na contagem das faces do tronco, resultando em um número alto e sem critério.
- O “Diagnóstico do Erro”: Contagem Individual em vez de Agrupamento por Congruência.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 8
- A “Narrativa do Erro”: Similar à alternativa A, este erro vem de uma contagem individual que ignora a regra de agrupamento. O candidato pode ter chegado ao número 8 por alguma combinação de contagem (ex: 6 retângulos + 1 base + 1 topo), mas falhou em agrupar corretamente as faces laterais do tronco como uma única família.
- O “Diagnóstico do Erro”: Contagem Individual em vez de Agrupamento por Congruência.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 6
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de contagem sutil. O candidato pode ter identificado os 4 grupos corretos, mas depois se confundido e contado, por exemplo, a face interna colada ou separado as bases por alguma razão incorreta.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Contagem / Inclusão de Face Interna.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 4
- Análise de Correspondência: Perfeito. Corresponde exatamente ao número de “peças” distintas em nosso catálogo visual: a azul, a verde, a amarela e a vermelha.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 3
- A “Narrativa do Erro”: O candidato caiu na armadilha clássica. Ele corretamente agrupou as laterais, mas considerou que a base de baixo e o topo (a peça azul e a peça vermelha do nosso catálogo), por serem ambos hexágonos, deveriam ter a mesma cor.
- O “Diagnóstico do Erro”: Ignorar a Condição de Tamanho na Congruência.
- Conclusão: ⚠️ Armadilha Clássica!
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Caso encerrado! A resposta correta é D. A geometria espacial, por mais abstrata que pareça, obedece a regras de lógica e classificação tão rigorosas quanto as de um detetive.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Protótipo 3D? É uma torre de LEGO. Base grande, paredes retas, paredes inclinadas, topo pequeno. Quatro tipos de peça, quatro cores.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Pensa que isso é só para impressoras 3D? Que nada! Esse princípio de agrupar por congruência é a base da Cristalografia, o estudo de como os átomos se arranjam para formar cristais (como sal, quartzo ou diamantes). Um cristal é um poliedro perfeito, e suas faces seguem regras de simetria e congruência. Os cientistas não analisam cada átomo, mas sim os “grupos de congruência” e os “planos de simetria” para classificar o cristal e entender suas propriedades. A pintura do nosso protótipo é um exercício de classificação cristalográfica em macro escala.