Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.
Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
A) y = -3x + 20
B) y = -3x + 16
C) y = -3x – 20
D) y = 3x + 16
E) y = 3x – 16
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Analítica
- Equação da Reta
- Plano Cartesiano
- Geometria Plana (Propriedades do Quadrado)
- Tema/Objetivo Geral: Identificar a equação de uma reta (que representa a mediatriz de um segmento) a partir da análise de seu gráfico e da verificação de um ponto pertencente a ela.
- Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do Nível: A questão é de nível médio porque, embora exista um atalho muito eficaz, ela exige a conexão de múltiplos conceitos: a tradução de “equidistante” para o conceito geométrico de mediatriz, a propriedade das diagonais de um quadrado, e a relação entre a inclinação de uma reta e seu coeficiente angular.
- Gabarito: A) y = -3x + 20.
- Explicação Resumida: A equação correta deve ter uma inclinação negativa (visível no gráfico) e deve ser satisfeita pelas coordenadas do ponto inicial do herói, S(6, 2). A única alternativa que cumpre ambos os requisitos é a A.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: Nossa missão é encontrar a fórmula matemática exata (a equação da reta) para o “caminho seguro” do herói. Esse caminho é a linha onde ele fica sempre à mesma distância dos dois vilões, T e V.
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Estamos procurando a mediatriz do segmento de reta que une os vilões (VT). Pense na mediatriz como uma “fronteira de neutralidade” em um mapa. Qualquer um que caminhe sobre essa linha está em território neutro, igualmente longe dos dois países inimigos (os vilões).
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nossa estratégia será rápida e letal, usando as pistas mais óbvias primeiro:
- Justificar o Caminho: Vamos confirmar por que a trajetória segura é a reta que contém a diagonal SU.
- A Prova Visual (O Atalho do Detetive): Usaremos a inclinação da reta no gráfico para eliminar imediatamente os suspeitos improváveis.
- A Prova Concreta (O Teste de DNA): Usaremos a localização exata do herói, o ponto S(6, 2), para testar os suspeitos restantes e encontrar a correspondência perfeita.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, precisamos de duas ferramentas em nossa caixa de detetive.
- Ferramenta 1: O Dossiê do Quadrado
- Propriedade-Chave: Em qualquer quadrado, as duas diagonais (no nosso caso, SU e TV) são mediatrizes uma da outra. Isso significa que elas se cruzam no ponto médio e são perpendiculares.
- Implicação para o Caso: A trajetória segura, que é a mediatriz de TV, é, portanto, a reta que contém a diagonal SU. Isso nos dá a certeza de que a reta que procuramos é aquela que passa por S e U.
- Ferramenta 2: O Dossiê da Equação da Reta (y = mx + b)
- m (O Coeficiente Angular): É o “detetive de inclinação”. Ele nos diz a direção da reta.
- Se m for positivo (+), a reta sobe da esquerda para a direita 📈.
- Se m for negativo (-), a reta desce da esquerda para a direita 📉.
- Princípio da Pertença: Se um ponto (como S) está em uma reta, suas coordenadas (x, y) devem “satisfazer” a equação, tornando a igualdade verdadeira.
- m (O Coeficiente Angular): É o “detetive de inclinação”. Ele nos diz a direção da reta.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, aplicando as ferramentas que preparamos.
- A Prova Visual (Eliminando os Inocentes):
- Olhamos para o gráfico. A reta que contém o segmento SU claramente “desce” da esquerda para a direita.
- Usando nossa Ferramenta 2, sabemos que o coeficiente angular m deve ser negativo.
- Vamos analisar os m das alternativas:
- A) m = -3 (Suspeito)
- B) m = -3 (Suspeito)
- C) m = -3 (Suspeito)
- D) m = 3 (Inocente! Eliminado.)
- E) m = 3 (Inocente! Eliminado.)
- Com uma única olhada, nosso campo de investigação foi reduzido de 5 para 3 suspeitos. Excelente!
- A Prova Concreta (O Teste Final):
- O enunciado nos dá uma evidência irrefutável: o herói começa no ponto S(6, 2).
- A equação correta tem que ser verdadeira para x = 6 e y = 2. Vamos testar os suspeitos restantes.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha aqui é se sentir tentado a usar as coordenadas do vilão V(8, 6) para testar a equação. Lembre-se: V é um vilão, ele NÃO está na trajetória segura do herói. O ponto S é nossa única prova garantida sobre o caminho.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Estamos procurando, entre as alternativas A, B e C, a única equação que se torna uma verdade matemática quando substituímos x por 6 e y por 2.
- Expectativa: A equação y = -3x + 20 é a principal suspeita, pois é a primeira da lista.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos realizar o interrogatório final dos três suspeitos.
- A) y = -3x + 20
- Análise de Correspondência: Realizando o teste de substituição com S(6, 2):
2 = -3(6) + 20
2 = -18 + 20
2 = 2 - A igualdade é perfeita. A prova confirma a identidade do culpado.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- Análise de Correspondência: Realizando o teste de substituição com S(6, 2):
- B) y = -3x + 16
- A “Narrativa do Erro”: O aluno testa esta equação: y = -3(6) + 16 -> y = -18 + 16 -> y = -2. O resultado -2 não é igual ao y=2 do ponto S.
- O “Diagnóstico do Erro”: Falha na Verificação de Ponto. A reta é paralela à correta, mas não passa pelo local onde o herói está.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) y = -3x – 20
- A “Narrativa do Erro”: O aluno testa esta equação: y = -3(6) – 20 -> y = -18 – 20 -> y = -38. O resultado está muito longe do y=2 esperado.
- O “Diagnóstico do Erro”: Falha na Verificação de Ponto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos juntos que a alternativa A) y = -3x + 20 é a resposta correta. A combinação de uma rápida análise visual com um teste de verificação de ponto é uma das técnicas mais poderosas e eficientes na caixa de ferramentas de um detetive da matemática.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para desvendar a reta: olhe sua direção, depois confira sua identidade.”
- Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O conceito de mediatriz é fundamental em computação gráfica e design de jogos, exatamente como na questão! Mas ele vai além. Em telecomunicações, ao posicionar uma nova antena de celular para cobrir duas comunidades, o local ideal para garantir uma força de sinal similar para ambas estaria sobre a reta mediatriz que as separa. A matemática que garantiu a segurança do herói é a mesma que garante que sua ligação não caia.