A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.
As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.
Quantos vértices tem esse poliedro?
A) 21
B) 25
C) 55
D) 80
E) 110
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Espacial
- Sólidos Geométricos (Poliedros de Johnson)
- Interpretação de Planificações
- Tema/Objetivo Geral: Contagem de vértices de um poliedro complexo a partir da análise de sua representação planificada.
- Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do Nível: A questão é de nível médio. Embora a contagem em si seja uma soma simples, o desafio reside na capacidade de interpretação e raciocínio espacial. É preciso escolher a ferramenta correta (a planificação), entender como ela se “dobra” para formar o sólido e, principalmente, evitar a armadilha de contar os cantos de cada polígono individualmente.
- Gabarito: B) 25.
- Explicação Resumida: A contagem direta na planificação, dividida em camadas, revela 10 vértices na base decagonal, 10 vértices no anel intermediário e 5 vértices no topo pentagonal, totalizando 25 vértices.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: A missão é simples e direta: descobrir quantos cantos (vértices) essa figura geométrica 3D possui no total.
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que este poliedro é uma peça de origami muito complexa. Tentar contar os cantos da peça pronta é um convite ao erro, pois alguns ficam escondidos ou se confundem. A planificação é o papel antes de ser dobrado, com todas as marcas de dobra. Nela, podemos ver cada ponto que se tornará um canto. O verdadeiro desafio aqui é usar o “mapa” (a planificação) em vez de tentar adivinhar olhando para o “terreno” (o sólido 3D).
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Escolher a Melhor Evidência: Ignorar as figuras 3D, que são confusas, e focar 100% na planificação, que é clara e completa.
- Dividir para Conquistar: Separar a planificação em “andares” ou seções lógicas para organizar a contagem.
- Realizar a Contagem Sistemática: Contar os vértices de cada seção de forma metódica.
- Sintetizar o Resultado: Somar os totais parciais para encontrar o número final de vértices.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a escolha da ferramenta correta é 90% da solução. Vamos criar um dossiê comparativo para entender por que a planificação é a nossa arma secreta.
- Dossiê de Análise de Evidências (🕵️♂️)
- Evidência A: As Figuras 3D (As Testemunhas Confusas)
- Descrição: Mostram o poliedro montado, de dois ângulos.
- Pontos Fortes: Dão uma ideia da aparência final do objeto.
- Fraquezas Fatais: Escondem vértices no lado de trás! Uma contagem direta é impossível e levaria a um erro quase certo. São visualmente enganosas.
- Evidência B: A Planificação (A Prova Pericial Incontestável)
- Descrição: Mostra o poliedro “desmontado” e esticado.
- Pontos Fortes: Revela todos os polígonos e, mais importante, todos os vértices de uma só vez. Não há nada escondido.
- Como Usar: Os pontos na planificação representam os vértices finais do poliedro. Quando a figura é dobrada, os “cantos” dos polígonos nas bordas externas se unem, mas os pontos que já são junção de vários polígonos no interior da planificação já são vértices únicos.
- Evidência A: As Figuras 3D (As Testemunhas Confusas)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano de ataque usando a planificação.
- Dividindo a Planificação: Vamos separar a contagem em três zonas distintas:
- Zona 1 (A Base): O grande polígono vermelho no centro.
- Zona 2 (O Anel Central): A primeira camada de polígonos (azuis e amarelos) conectada à base.
- Zona 3 (O Topo): A segunda camada de polígonos (azuis, amarelos e o verde) que formará a “tampa”.
- Contagem Sistemática:
- Contando a Zona 1: O polígono vermelho é um decágono (10 lados). Portanto, ele contribui com 10 vértices.
- Contando a Zona 2: Observe os pontos que formam o contorno externo da base, onde os triângulos e quadrados se conectam. Cada vértice do decágono também é um vértice para este anel. Contando esses pontos, temos mais 10 vértices distintos.
- Contando a Zona 3: O polígono final, no topo da estrutura, é o pentágono verde. Ele contribui com 5 vértices que formam o cume do poliedro.
- Soma Final:
- Total = (Vértices da Base) + (Vértices do Anel) + (Vértices do Topo)
- Total = 10 + 10 + 5 = 25 vértices.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é contar os cantos de CADA polígono individualmente e somar tudo. Por exemplo: 10 (decágono) + 5 (pentágono) + 5×4 (quadrados) + 15×3 (triângulos) = 10 + 5 + 20 + 45 = 80. Isso está errado! Quando você monta o poliedro, vários desses cantos se unem para formar um único vértice. A planificação já nos mostra os vértices únicos do sólido final.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A contagem foi feita de forma estruturada sobre a planificação, identificando três camadas de vértices: uma base com 10, um meio com 10 e um topo com 5.
- Expectativa: A resposta correta deve ser 25.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar os suspeitos.
- A) 21
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de contagem simples, talvez esquecendo de contar alguns vértices em uma das camadas.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Contagem.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) 25
- Análise de Correspondência: Este número corresponde exatamente ao resultado da nossa contagem metódica e estruturada.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- C) 55
- A “Narrativa do Erro”: Resulta de uma contagem confusa, possivelmente somando o número de arestas com o de faces, ou alguma outra combinação sem lógica clara.
- O “Diagnóstico do Erro”: Raciocínio Incorreto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) 80
- A “Narrativa do Erro”: Este é o resultado exato de quem cai na “Armadilha Clássica” que descrevemos: somar os vértices de todos os polígonos individuais (10+5+20+45 = 80).
- O “Diagnóstico do Erro”: Contagem Dupla Massiva (Confundir vértices dos polígonos planos com os vértices do poliedro montado).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) 110
- A “Narrativa do Erro”: Um número ainda maior, provavelmente vindo de um erro de cálculo dentro da lógica da contagem dupla.
- O “Diagnóstico do Erro”: Raciocínio Incorreto / Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B) 25 é a correta, pois a planificação, quando analisada de forma estruturada, oferece um método à prova de erros para desvendar as propriedades de um poliedro complexo.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para contar os cantos de um castelo dobrado, primeiro estude sua planta baixa.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O processo de analisar uma estrutura 3D complexa a partir de sua “planificação” 2D é fundamental em Biologia Molecular, especificamente no estudo de proteínas. Uma proteína é uma longa cadeia de aminoácidos (a “planificação”) que se “dobra” em uma forma 3D extremamente complexa e específica para realizar sua função. Cientistas analisam a sequência 1D/2D para prever e entender a estrutura 3D final, um dos maiores desafios da bioquímica, conhecido como “problema do enovelamento de proteínas”. A lógica de que a estrutura plana determina a espacial é a mesma.